Методическое пособие 334

Р(Х4)=Х4 + Х + 1<--> 10011.

В поле Галуа GF (2n) определены четыре алгебраические операции. Операции сложения и вычитания выполняются как операции поразрядного сложения по модулю 2; операция умножения элементов поля выполняется как умножение соответствующих многочленов с приведением по модулю неприводимого многочлена Р(Х), т. е. многочлена, по модулю которого построены элементы поля GF (2n).

Пример. α5 = 0110, α6 = 1100, α5+ α6 = 1010, так как

Пример. α14 = 1001,

α14 * α14 = α214= α13 по mod Р1(Х4) <-->1 0 0 1 1.

Чтобы выполнить деление элемента b на элемент а в поле модулю Р (Х), сначала находят обратный элемент a-1(mod P (X)), а затем вычисляют

b * a-1(mod P (X)).

Каждый двоичный вектор длиной n, исключая 0, является взаимно простым с неприводимым многочленом Р (Х) независимо от значения Р (Х). Поэтому число вычетов, взаимно простых с Р(Х), равно φ(Р(Х)) = 2n - 1 (расширение функции Эйлера для многочленов). Поэтому

30

a-1= aφ(P(X))-1 mod Р(Х) = mod P(Х)

Пример. Пусть a = 100 и P(X) = 1011 в поле GF (23).

a-1= (mod 1011) = 1006 (mod 1011) = 1002 * 1004(mod 1011).

1002 (mod 1011) = 10000 10110 = 110.

или

1004 (mod 1011) = 1102 (mod 1011) = 010.

или

1002 * 1004 (mod 1011)= 110 * 010 (mod 1011) = = 1100 (mod 1011) = 111.

или

Итак, a-1 = 111.

Проверка: a=100, a-1 = 111, P(X)=1011, a*a-1=110*100=11100.

31

3.Каковы достоинства вычислений в поле GF (2n)?

4.На практике способы шифрования подстановки и перестановки, как правило, применяются одновременно. Привести практические примеры способов защиты информации, которые относятся к симметричным системам защиты данных.

5.Какие существуют разновидности относительно метода перестановки?

6.Сравните между собой два способа шифрования подстановки и перестановки. Укажите преимущества и недостатки каждого из них.

33

Практическое занятие № 8 Тестирование простоты числа методом перебора делителей

Перебор делителей – это алгоритм, применяемый для определения, какое число перед нами: простое или составное

[4].

Алгоритм заключается в последовательном делении заданного натурального числа на все целые числа, начиная с двойки и заканчивая значением меньшим или равным квадратному корню тестируемого числа. Если хотя бы один делитель делит тестируемое число без остатка, то оно является составным. Если у тестируемого числа нет ни одного делителя, делящего его без остатка, то такое число является простым. Блок-схема данного алгоритма представлена на рис. 2.

Контрольные вопросы:

1.В чем смысл алгоритма перебора делителей?

2.Какова блок-схема алгоритма перебора делителей?

3.Приведите недостатки метода шифрования на примере ситуации, когда результатом атаки служит фрагмент исходного текста и соответствующей криптограммы.

4.Разработать алгоритм синтеза криптосистемы, в основе которой лежат сами Р-ичные представления элементов шифра в системе счисления с основанием Р.

5.Разработать алгоритм определения всех слов кода Варшамова Wn. Зависит ли количество кодовых слов от параметра a?

6.Разработать алгоритм атаки для определения секретного ключа заданной системы защиты информации:

а) по известной криптосистеме длины N; б) по известному вектору B = (b1, b2, … ,bn).

34

Рис. 2. Алгоритм «Перебор делителей»

35

Практическое занятие № 9 Разложение на множители

Разложить число на множители - значит найти его простые сомножители [4].

10 = 2*5

60 = 2*2*3*5 252601=41*61*101

2113- 1 =3391*23279*65993*1868569*1066818132868207

Разложение на множители является одной из древнейших проблем теории чисел. Этот процесс несложен, но требует времени. Это пока остается так, но ряд сдвигов в этом искусстве все же произошел.

Решето Эратосфена – это алгоритм нахождения простых чисел до заданного числа n. В процессе выполнения данного алгоритма постепенно отсеиваются составные числа, кратные простым, начиная с 2. Блок-схема данного алгоритма представлена на рис. 3.

Контрольные вопросы:

1.Что означает разложить число на множители?

2.В чём смысл решета Эратосфена?

3.Доказать, что любое десятичное число можно представить в p-ичной системе счисления единственным способом.

4.Оценить время, необходимое для перевода заданного целого числа в систему счисления с основанием b.

5.Разработать алгоритм для нахождения целочисленного решения уравнения Х2 + Y2 = n, где n – некоторое заданное положительное число. Определить его временную сложность.

36

Рис. 3. Алгоритм «Решето Эратосфена»

37

Практическое занятие № 10 Символы Лежандра и Якоби

Символ Лежандра, L(a,p), определен, если a - это любое целое число, а p - простое число, большее, чем 2. Он равен 0, 1

или -1 [6].

L(a,p) = 0, если a делится на p.

L(a,p) = 1, если a - квадратичный вычет по модулю p. L(a,p) = -1, если a не является квадратичным вычетом

по модулю p.

L(a,p) можно рассчитать следующим образом:

L(a,p = a(p-1)/2 mod p

Или можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1.Если a = 1, то L(a,p) = 1

2.Если a четно, то L( a,p) = L(a/2,p) * 2-1)/8 3.Если a нечетно (и Ф 1), то

L(a,p)= L(p mod a, p)**(-1)(a-1)(p-1)/4

Этот метод также является эффективным способом определить, является ли a квадратичным вычетом по модулю p (для простого числа p).

Символ Якоби, J(a,n), представляет собой обобщение символа Лежандра на составные модули, он определяется для любого целого а и любого нечетного целого п. Функция удобна при проверке на простоту. Символ Якоби является функцией на множестве полученных вычетов делителей п и может быть вычислен по различным формулам.

Вот один из способов:

Определение 1: J (а,п) определен, только если п нечетно. Определение 2: J(0,«) = 0.

Определение 3: Если п - простое число, то символ Якоби J (а,п) = О, если а делится на п.

38