Методическое пособие 117

УДК 51(07) ББК22.1я7

Составители В.Н. Колпачев, М.Д. Гончаров, Н.Н. Некрасова, А.А. Седаев, Е.И. Ханкин

Математика: программа и контр. задание №1, 2 к 1 ч. (1-й семестр) курса для студ.-бакалавров заочного факультета всех спец. направления «Строительство»/ Воронежский ГАСУ; сост.: В.Н. Колпачев [и др.]. – Воронеж, 2012. – 29 с.

Приводятся программа и контрольные задания №1,2 к 1-й части курса высшей математики для заочного отделения. Даны ссылки на литературу, которой можно пользоваться при подготовке к зачету и выполнении контрольных работ.

Предназначены для студентов-бакалавров 1-го курса заочной формы обучения всех специальностей направления «Строительство».

Библиогр.: 6 назв.

УДК 51(07) ББК22.1я7

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

Рецензент – В.П. Авдеев, доктор тех. наук, проф. кафедры информатики и графики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

2

Введение

Математические методы играют все более важную роль в современной науке, технике и экономике. Возможность успешного применения математики при решении конкретных задач особенно усилилась благодаря всеобщей компьютеризации.

Общий курс математики является фундаментом математического образования инженера - это язык современной науки. Поэтому для успешного изучения физики, механики, электротехники, теории машин и механизмов, а также многих других общетеоретических и специальных дисциплин совершенно необходимо понимать смысл математических терминов и понятий таких, как уравнение, функция, производная, интеграл и тому подобное.

Математика – инструмент познания. Она развивает методы решения широких классов задач, которые постоянно встречаются на практике. Однако изучение математики невозможно без решения учебных задач и систематического, вдумчивого чтения учебной литературы. Все это развивает мышление, приучает самостоятельно находить пути выхода из сложных ситуаций, а значит, помогает становлению грамотного инженера, руководителя современного производства.

Общие рекомендации

Кпервой части (1-й семестр) курса математики отнесены элементы линейной и векторной алгебры, аналитическая геометрия, введение в математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Материал рекомендуем разбирать по вопросам, указанным в рабочей программе. Там же вы найдете страницы учебников и номера задач, которые следует проработать.

Кзачету необходимо выполнить две контрольных работы. Каждая работа выполняется в отдельной тетради. Оформление должно быть аккуратным, записи четкими, а решение должно сопровождаться подробными пояснениями с необходимыми ссылками на теорию.

Приступать к выполнению контрольных работ следует после изучения необходимого теоретического материала и разбора решения нескольких аналогичных задач.

Относитесь добросовестно к изучению теории и самостоятельному решению задач контрольной работы, т. к. на зачете вам придется решать аналогичные задачи и отвечать на вопросы программы.

3

Список рекомендуемой литературы

1.Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 4-е изд. /Д.В. Беклемишев. – М.: Наука, 1980. – 225 с.

2.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов, Т.1/Н.С. Пискунов.– М.: Наука, 1985. - 432 с.

3.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах, Ч.1/П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1999. – 304 с.

4.Бугров, Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии/ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1990. – 176 с.

5.Бугров ,Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление/ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1990. – 185 с.

6.Седаев, А.А. Некрасова Н.Н. Элементы линейной алгебры, аналитическая геометрия и введение в математический анализ/ А.А. Седаев, Н.Н. Некрасова. - ВГАСУ, 2007. - 184 с.

Указания по обращению к рекомендуемой литературе даны в тексте рабочей программы. Номера источников из приведенного выше списка пишутся в квадратных скобках. Например [I, гл. 2, §2] означает: учебник Беклеми-

шева Д.В., гл. II, §2. Особенно рекомендуем пособие 6, специально напи-

санное для заочников ВГАСУ и имеющееся в библиотеке.

Вопросы программы к контрольной работе№1

Раздел I. Элементы линейной алгебры

Тема 1. Системы линейных уравнений и их решение. Определители

1.Система m линейных уравнений с n неизвестными. Понятие решения системы, совместные и несовместные системы. Примеры.

2.Эквивалентные системы. Простейшие преобразования, приводящие к эквивалентным системам.

3.Решение системы методом Гаусса, условие несовместности уравнений. Примеры.

4.Матрица, ее строки, столбцы и размеры. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений.

5.Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей.

6.Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Вычисление определителя любого порядка разложением по строке или столбцу.

7.Формула Крамера. Условие существования ненулевого решения однородной системы.

4

Литература: [I, гл.V, §3]; [3, задачи 391-393; 445-447, 449]; [I, гл. I §3, п. 5- 9]; [3, задачи 208-211, 217, 219, 222, 225, 227, 228]; [I, гл. V, §2)] [3, задача 387]; [4, §§ 1, 2, 3, 4], [6, гл 1, стр. 9-23].

Раздел II. Векторная алгебра

Тема 2. Векторы и действия над ними. Метод координат

1.Векторы. Равные векторы. Коллинеарные и компланарные векторы.

2.Сложение и вычитание векторов, правила параллелограмма, треугольника и многоугольника. Умножение вектора на число. Свойства.

3.Пропорциональность коллинеарных векторов. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

4.Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам. Координаты разложения.

5.Понятие базиса, координаты разложения вектора по базису. Действия над векторами и действия над их координатами.

6.Числовая ось. Декартова система координат на плоскости. Нахождение координат точки, построение точки по ее координатам.

7.Радиус - вектор точки. Координаты радиуса - вектора в базисе из единичных векторов, направленных по осям координат. Вычисление координат вектора через координаты его начала и конца.

8.Формулы для координат точки, делящей отрезок в данном отношении.

Литература: [I, гл. I, §1, §2]; [3, гл. I, §1 гл. II, §1, §2]; [4, §§5,7,14,16],

[6, гл 2, стр. 37-58 ].

Тема 3. Скалярное, векторное и смешанное произведения

1.Скалярное произведение векторов и его свойства. Физический

смысл.

2.Вычисление скалярного произведения через координаты сомножителей в базисе i , j, k .

3.Вычисление длины вектора, угла между векторами и расстояния между точками в декартовой системе координат.

4.Векторное произведение и его свойства. Механический смысл.

5.Вычисление векторного произведения через координаты сомножите-

лей в базисе i , j, k .

6.Вычисление площади параллелограмма и треугольника через координаты его вершин.

7.Смешанное произведение трех векторов. Его свойства и геометрический смысл.

5

8. Вычисление смешанного произведения через координаты сомножителей. Вычисление объема пирамиды.

Литература: [I, гл. I, §1, §2 ]; [3, гл. I, §1; гл. II, § 1, §2 ], [4, §§ 5,7,14,16 ], [6, гл 2 , стр. 58-74].

Раздел III. Аналитическая геометрия

Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости

1. Геометрическое изображение множества решений уравнений F(x, y) =0 на координатной плоскости. Понятие об уравнении линии на координатной плоскости. Примеры: окружность, прямая.

2.Описание пересечения двух множеств системой уравнений, задающих эти множества.

3.Уравнение прямой в общем виде. Построение прямой и нахождение вектора, перпендикулярного к прямой, по ее уравнению.

4.Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

5.Вычисление угла между прямыми через их угловые коэффициенты.

6.Условия параллельности и перпендикулярности прямых через их угловые коэффициенты.

7.Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом k , проходящей через точку (x0 , y0 ) .

8.Уравнение прямой, проходящей через две точки: (x1, y1 ) и (x2 , y2 ) .

9. Вычисление расстояния от точки (x0 , y0 ) до прямой

Ax + By + C = 0 .

10.Полярная система координат на плоскости. Связь между полярными и декартовыми координатами точки. Примеры задания кривых уравнением в полярной системе координат.

11.Уравнение окружности радиуса R с центром в точке (x0 , y0 ) .

12.Эллипс. Фокусы. Каноническое уравнение эллипса. Свойства симметрии, главные полуоси. Эксцентриситет. Эксцентриситет окружности.

13.Гипербола. Фокусы. Каноническое уравнение. Свойства симметрии. Асимптоты и построение гиперболы. Эксцентриситет.

6

14.Парабола. Фокус и директриса. Каноническое уравнение параболы. Ось симметрии.

15.Преобразование координат точки при параллельном переносе системы координат.

16.Преобразование координат точки при повороте системы координат на угол α .

17.Геометрический смысл общего уравнения второго порядка с двумя неизвестными.

18.Параметрическое задание кривой.

Литература: [ 1, гл. II, §1, п. 1, 3, 5; §§ 2,3, гл. III, §1,2, п. 1,2,3], [2, гл. I, §10, упр. 41-45], [3, гл. I, §1, задачи 37-39, 41, 42, 49, 51-56, 42, 44-51; §2 задачи 63-69, 78-90; §3, задачи 141,144, 146, 149, 151, 154, 155, 156, 167, 168, 169; §4, задачи 176-181, 199-201], [4, §§8, 19, 24], [6, гл 3, стр.74-115 ].

Тема 5. Аналитическая геометрия в пространстве

1.Уравнение поверхности. Цилиндрические поверхности.

2.Уравнение плоскости, проходящей через точку (x0 , y0 , z0 ) перпен-

дикулярно вектору n = ( A, B, C) . Уравнение плоскости в общем виде.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки: (x0 , y0 , z0 ) ,

(x1, y1, z1 ) , (x2 , y2 , z2 ) .

4.Задание прямой в пространстве в общем виде. Нахождение координат пересечения прямой и плоскости через их уравнения.

5.Расстояние от точки (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .

6.Уравнение прямой, параллельной вектору a = (l, m, n) и проходящей

через точку (x0 , y0 , z0 ) (параметрическое задание прямой и канонические уравнения прямой).

7. Уравнения прямой, проходящей через две точки: (x1, y1, z1 ) , (x2 , y2 , z2 ) .

8.Уравнение сферы радиуса R с центром в точке (x0 , y0 , z0 ) .

9.Эллипсоид. Каноническое уравнение и форма.

10.Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение и форма.

11.Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение и форма.

12.Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение и форма.

13.Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение и форма.

Литература: [1, гл. III, §4 ], [ 3, гл. III, §1, задачи 287-290, 297, 316,

328, 333, 334, §2, 369, 371, 372], [4, §§9,10,25], [6, гл 4, стр. 115-140].

7

Вопросы программы к контрольной работе №2

Раздел IV. Введение в математический анализ

Тема 6. Понятие функции

1.Понятие функции. Примеры из физики и механики. Область определения и область значений.

2.График функции. Построение графика по точкам. Возрастание и убывание функции, периодические функции.

3.Способы задания:

а) аналитический (явный, неявный); б) табличный; в) графический. Вычисление значений функций для различных способов задания.

4.Понятие обратной функции.

5.Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Литература: [2, гл. I, §1-6, упр. 1-6, §7, упр. 8-10, 12, 14, 16, 18, 2, 29,

34, 39, 40; §8, упр. 7 §9], [3, гл. VI, §2, §3], [5, §§1.4-1.11, 3.1], [6, гл 5, стр. 140-152].

Тема 7. Понятие предела

1.Что означает, когда переменная величина x стремится к пределу A в терминах окрестностей точки A на числовой прямой? Примеры.

2.Понятие о пределе функции y = y(x) в точке x = a . Примеры.

3.Основные правила нахождения пределов: предел суммы, произведения и частного переменных величин, имеющих пределы.

4.Понятие неопределенности. Раскрытие неопределенности

многочлен типа 00 или ∞∞ .

5.Признаки существования предела: теорема о промежуточной пере-

менной; теорема о монотонной ограниченной переменной.

6.Первый замечательный предел (с выводом).

7.Второй замечательный предел и число e (без вывода).

8.Следствия из первого и второго замечательных пределов.

9.Односторонние пределы функции в точке. Связь с обычным преде-

лом. Примеры. [6, гл 5, с. 152-170].

8

Тема 8. Непрерывность функции

1.Определение непрерывности функции в точке и на интервале. Точки разрыва. Иллюстрация на графике.

2.Определение непрерывности на языке односторонних пределов. Точки разрыва и их классификация. Примеры.

3.Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции, составленной из непрерывных.

4.Элементарные функции. Область их непрерывности. Применение непрерывности элементарных функций при вычислении пределов.

5.Свойства непрерывных на отрезке функций.

Литература: [2, гл. II, §§1-5, упр. 1, 4, 6, 8-14, 18, 19, §6, упр. 31-33, 35, 37-40; §§7,8, упр. 41-44, 46, 48, 49; §9, упр. 2, 3, 21-23, 25-30, 45, 47, 57, 59; §§10, 11, упр. 60-62], [3, гл. VI, §§4,6], [5, гл. 2,3], [6, гл 5, стр. 170-176].

Раздел V. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его применение

Тема 9. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.Определение производной функции в точке. Ее геометрический и физический смысл.

2.Правила дифференцирования: производная суммы и разности функций; производная произведения функций; производная частного функций; производная константы; производная произведения функции на число; правило нахождения производной сложной функции.

3.Таблица производных основных элементарных функций.

4.Вторая производная и ее механический смысл. Производные высших порядков.

5.Дифференциал функции в точке и его связь с приращением функции (два основных свойства дифференциала). Формула вычисления дифференциала функции через ее производную и дифференциал (приращение) аргумента. Символическая запись производной в виде отношения дифференциалов. Применение дифференциала для приближенного вычисления значений функции.

6.Формула Лагранжа (формула конечных приращений).

7.Формула Коши. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

00 , ∞∞.

8. Представление функций ex , cos x , sin x , ln(1 + x) , (1 + x)m по формуле Тейлора в окрестности нуля.

9. Приложения формулы Тейлора для приближенного вычисления значений функции.

9

Литература : [2, глава III, задачи 1, 3, 4, 7, 10, 15, 16, 20-22, 40, 45, 71, 50-80, 116, 120, 137, 222-227]; [3, задачи 739-765, 768-770, 945-948, 975977, 980, 1015-1020, 1053].

Тема 10. Исследование функции с помощью производных

ипостроение ее графика

1.Возрастание и убывание функции на интервале. Связь со знаком первой производной.

2.Точки максимума и минимума (точки экстремума). Необходимое условие экстремума кусочно-дифференцируемой функции. Критические точки функции. Постоянство знака производной кусочно-дифференцируемой функции на интервале между соседними критическими точками.

3.Проверка критической точки на существование в ней экстремума с помощью знака первой производной. Достаточный признак экстремума, основанный на знаке первой производной.

4.Проверка стационарной точки на существование в ней экстремума с помощью знака второй производной. Достаточный признак экстремума, основанный на знаке второй производной.

5.Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной и кусочно-дифференцируемой функции на отрезке.

6.Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Связь направления выпуклости графика функции со знаком второй производной.

7.Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные асимптоты и их отыскание.

8.Наклонные асимптоты и их отыскание.

9.Общая схема исследования функции заданной формулой: область определения; исследование поведения функции на границе ее области определения (предел функции на границе, асимптоты); нахождение первой производной; определение с ее помощью критических точек, интервалов возрастания и убывания функции и точек экстремума; нахождение второй производной; определение с ее помощью интервалов выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба. Построение графика функции по результатам исследования.

Литература: [2, глава V, задачи 3, 14, 22, 27, 32, 34, 40, 52, 54, 62, 6771, 75, 78, 84, 95, 103]; [3, глава VII].

Определение варианта

Для определения номера своего варианта возьмите двузначное число, на которое оканчивается номер вашего шифра (номер вашей зачетной книжки). Если оно не превосходит 20, то это номер вашего варианта. В против-

10