Математика. программа и контрольные задания №1, 2 к 1-й части (1-й семестр) курса для студентов-бакалавров. Колпачев В.Н., Гончаров М.Д

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Математика

Файл:

г) x→∞ x −2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

412 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

ном случае вычитайте из этого числа 20 до тех пор, пока остаток не станет меньше 21. Тогда этот остаток и есть номер вашего варианта.

Условие задачи состоит из общей для всех вариантов формулировки и двадцати вариантов конкретных данных. Именно для этих данных вам надлежит выполнить решение своего варианта.

При оформлении контрольной работы условия задач следует переписывать полностью. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради с полями и сдается (отсылается) для проверки в установленное деканатом время.

Контрольная работа №1

Системы линейных уравнений

Задача 1. Решить неоднородную систему методом Гаусса и методом Крамера. Определители вычислять, разлагая по строке или столбцу. [6, с. 9-23].

2x + y − 3z = 7	x + 2 y + z = 4	2x − 4 y + 9z = 7
1. x − y + 2z = −3	2. 3x − 5y + 3z = 4	3. 7x + 3y − 6z = 4
x + 2 y − z = 6	2x + 7 y − z =8	− x + 2 y − 5z = −4
x + 2 y + 3z = 6	3x − y + z =8	x + 2 y + 3z = 6
4. 2x + y + 3z = 3	5. 2x + y − 2z =1	6. 2x + y + 3z = 3
3x + 2 y + z = 2	x − 2 y + 3z = 7	3x + 2 y + z = 2
2x − 3y + z = 0	2x + y − 3z = 6	x + y + z =1
7. x + y − z = −1	8. x − 3y + z = 4	9. 2x − y + z = 2
4x + 3y − 4z = −3	x + 2 y − z =1	x − 2 y − z = −2
x − y − 2z = 2	x + 2 y − z = −2	3x − y + z = 7
10. − 2x + 2 y + z = −1	11. 2x + 7 y + z = −4	12. 2x + y + 3z = 7
2x − 3y + z = −2	3x − y + 2z = 6	x − y + z = 3
x + y − z =3	2x − y + 3z =3	− x + y + z =1
13. 3x + y − 2z =5	14. x − 0 + z =1	15. 2x −3y −		=1
2x − 3y + z = −5	3x + 2 y − z = −3	x + y		= 0
3x − y = 6	2x − y + z = 5	− x + 2 y − 3z = −2
16. 2x + 3z = 9	17. x + 2 y − z = 5	18. x − y	= 0
− x + y − z = −3	3x − y + 2z =8	3x + y − 2z = 2
3x + 2z =8	2x − y + z = −4
19. x + y − z = 0	20. 3x + 2 y − z = 7
2x + y + 2z =8	− x + y + 2z =1

Задача 2.Узнать с помощью определителя имеет ли однородная система ненулевое решение. Применяя метод Гаусса, найти общее решение систе-

мы [6, с. 20-21].

x − y − z = 0

1.x + 4 y + 2z = 03x + 7 y + 3z = 0

3x + 2 y − z = 02x − y + 3z = 0

x + 3y − 4z = 03.

x + 3y − 3z = 0

5.4x + 5y − z = 02x − y + 5z = 0

3x + 2 y − 4z = 02x − y + 3z = 0

12x − y + 5z = 07.

2x − 4 y − z = 0

9.x + y − 2z = 05x − 3y − 6z = 0

x + y + z = 0

11.3x − 3y + 3z = 0x − 2 y + z = 0

2x + y − z = 0

3x + 3y − 3z = 0

x + 2 y − 2z = 013.

x − y − 2z = 0

15.2x − y + 3z = 04x − 3y − z = 0

2x − y − z = 0

3x + 2 y + 3z = 0

x + 3y + 4z = 017.

x − y + 2z = 0

19.2x + 4x + 4 y − z = 05x + y + 6z = 0

2x − y + 3z = 0
2. − 2x + 3y + 2z = 0
	2 y + 5z = 0

2x − y + 3z = 0

4.x + 2 y − 5z = 03x + y − 2z = 0

3x −10 y − 4z = 0

6.2x −10 y + 3z = 0y + z = 0

2x − 2 y − z = 0 8. x + y − 5z = 0

5x − 3y − 4z = 02x + y + z = 0

10.x + 2 y − z = 02x − y + 3z = 0

x − y + 3z = 0

12.2x + 3y + 2z = 0− x − 4 y + z = 0x + y − 5z = 0

14.3x − 2z = 02x − y + 3z = 0

3x − y − z = 0

16.x + 2z = 0x − y − 5z = 0x + y − 2z = 0

18.2x − y + z = 05x − y = 0

2x − y − z = 0

20.x + 2 y + z = 04x + 3y + z = 0

Векторная алгебра и ее применение

Задача 3. На плоскости дана прямоугольная система координат XOY и

базис e1, e2 , состоящий из векторов единичной длины, направленных по соответствующим осям координат. Построить на плоскости XOY точки A, B, C

по их координатам. Построить векторы a

по их координатам в базисе

e1,

AB ,

AC и BC в базисе

e2 . Найти координаты векторов d

=α a + β

e1,

e2 [6, с. 37-58].

A(4,2), B(−1,5),

C(−5,−8),

a = (5,−2);

= (3,7),

= −3a +

A(−2,6),

B(−5,−3), C(1,4),

a = (3,1);

= (7,−1),

= 2a − 3

A(2,3), B(−3,1),

C(3,4), a = (3,−2),

= (4,1);

= 2a + b .

A(−4,1),

B(−1,3), C(2,−2),

a = (−1,6),

= (−5,2);

= a −

A(−3,5),

B(−5,−1), C(3,−1),

a = (−2,4),

= (−3,−2);

= a + 2

A(−4,2),

B(−4,−3), C(3,1),

a = (−3,2),

= (−1,−4);

= 2a − b .

A(−4,−2),

B(−2,−6), C(1,3),

a = (−5,−2),

= (2,−3);

= −2a + 2

A(−3,1),

B(−1,−5), C(3,2),

a = (−3,−2),

= (4,−1);

= a − 3

A(1,−4),

B(5,−1), C(−3,2),

a = (5,2),

= (1,−3);

= a + 3

10.

A(2,−5),

B(6,−1), C(−2,1),

a = (4,4),

= (1,−6);

= −a − 2

11.

A(6,3),

B(−2,−7), C(−5,3),

a = (2,4),

= (−3,1);

= 2a +

12.

A(7,3),

B(1,10), C(−5,−3),

a = (−2,6),

= (3,1);

= 2a − 3

13.

A(−3,−5), B(3,5),

C(10,−2),

a = (−3,−3),

= (3,2);

= −2a +

14.

A(−3,7),

B(6,−3),

C(−8,−4),

a = (4,2),

= (2,−3);

= a + 2

15.

A(6,−4),

B(−3,−7),

C(−5,3), a = (−2,3),

= (2,5);

= −3a + b .

16.

A(7,4),

B(−2,6), C(−3,−5),

a = (2,−3),

= (−4,2);

= 3a + 2

17.

A(2,7),

B(−8,6), C(7,3), a = (−3,−3),

= (2,3);

= 3a + 4

18.

A(2,−7),

B(11,4), C(−5,3),

a = (3,−2),

= (5,3);

= 3a − 2

19.

A(4,−8),

B(11,4),

C(1,12),

a = (−3,−2),

= (−5,3);

= 2a −

20.

A(−6,−7), B(−7,5),

C(8,2),

a = (2,−4),

= (−3,−3);

= 2a + b .

Задача 4. Даны длины векторов a и b и угол между ними. Требуется: а) используя определение и свойства скалярного произведения, вычислить:

X = (αa + β b ) (γ a +δ b ) ;

б) используя определение и свойства векторного произведения, выразить d = (α a + β b ) ×(γ a +δ b ) через вектор a ×b .

в) найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах [6, с. 60-70].

1. a = 3, b = 4,ϕ = 300 , X = (3a − 2b ) (a + 2b ), d = (a − b ) ×(2a + b ) .

= 2,

= 5,ϕ = 450 , X = (2a +

) (a −3

), d

= (3a +b )×(a −2b ) .

= 6,

= 2,ϕ = 600 , X = (a − 3

) (3a +

= (4a −

) ×(3a + 2

) .

= 6,

= 5,ϕ =1200 , X = (a + 2

) (2a − 3

= (a +

) ×(2a −

) .

= 3,

= 4,ϕ =1350 , X = (a + 3

) (3a −

= (a +

) ×(a −

) .

), d

=10,

= 2,ϕ =1500 , X = (3a −

) (a +

= (a + 3

) ×(a − 2

) .

= 3,

= 4,ϕ = 300 , X = (a −

) (−2a + 3

= (3a −

) ×(a − 2

) .

), d

= 7,

= 3,ϕ = 450 , X = (2a + 3

) (a − 2

= (a + 3

) ×(3a −

) .

), d

9. a = 4, b = 6,ϕ = 600 , X = (2a − b ) (a − b ), d = (2a − b ) ×(a + 2b ) . 10. a = 9, b = 3,ϕ =1350 , X = (a + b ) (a − 3b ), d = (a − b ) ×(4a + b ) .

11.a = 5, b = 2,ϕ = 300 , X = (2a + b ) (a − b ), d = (2a − 3b ) ×(a + b ) .

12.a = 3, b = 4,ϕ = 600 , X = (a + b ) (3a + 4b ), d = (a + 2b ) ×(3a − b ) .

13.a = 4, b = 2,ϕ = 450 , X = (3a − b ) (a + 2b ), d = (2a + 3b ) ×(a − 2b ) .

14.a = 2, b = 5,ϕ = 900 , X = (a + 3b ) (2a + 2b ), d = (a − b ) ×(4a + 5b ) .

15.

= 6,

= 2,ϕ =1200 , X = (5a +

) (2a + 3

= (a + 2

) ×(3a +

) .

16.

= 3,

= 4,ϕ =1350 , X = (a −

) (3a + 2

= (2a +

) ×(a − 2

) .

17.

= 5,

= 3,ϕ =1500 , X = (2a −

) (a − 4

= (a + 3

) ×(a −

) .

18.

= 6,

= 2,ϕ = 300 , X = (3a + 4

) (2a +

= (−2a +

) ×(−a +

) .

19.

= 2,

= 5,ϕ = 450 , X = (a + 3

) (5a −

= (3a +

) ×(−2a −

) .

), d

20.

= 3,

= 4,ϕ = 600 , X = (a −

) (3a +

= (a + 3

) ×(a +

) .

Задача 5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD . Требуется найти: а) скалярное произведение AB AC ;

б) длины сторон AB и AC ; в) угол между ними;

г) площадь грани ABC ;

д) объем пирамиды ABCD [6, с. 60-73].

1.А (1,1,1), В (6,3,1), С (3,6,1), D (2,3,5).

2.А (2,-1,1), В (0,2,1), С (0,-1,5), D (2,2,9).

3.А (1,2,-2), В (2,1,1), С (-1,4,-1), D (4,0,3).

4.А (1,3,2), В (3,2,2), С (1,4,2), D (1,3,5).

5.А (2,2,1), В (3,5,4), С (1,6,0), D (1,4,7).

6.А (4,1,1), В (3,4,2), С (4,6,1), D (3,3,7).

7.А (0,2,1), В (3,4,2), С (3,5,1), D (1,2,6).

8.А (2,1,0), В (1,3,2), С (3,4,1), D (2,3,7).

9.А (2,-2,0), В (3,3,1), С (0,4,2), D (1,3,6).

10.А (-1,3,2), В (1,2,2), С (1,9,1), D (1,5,10).

11.A(1,5,10), B(−1,3,−6), C(2,3,7), D(1,2,6).

12.А (1, 1, 1), В (2, -1,1), С (1, 2, -2), D(2, 7, 5).

13.A (1,3,2), B (2,2,1), C (4,1,1), D(2,2,9).

14.A (2,1,0), B (2,-2,0), C (-1, 3,2), D(4,0,3).

15.A (6,7,1), B (0,2,1), C (2,1,1), D(1,3,5).

16.A (3,2,2), B (3,5,4), C (3,4,2), D (1,4,7).

17.A (1,3,2), B (3,3,1), C (1,8,2), D (7,3,7).

18.A (3,6,1), B (0,-1,5), C (1,4,2), D (1,3,6).

19.A (1,6,0), B (3,5,1), C (3,6,1), D (2,3,7).

20.A (3,4,1), B (0,4,2), C (1,9,1), D (1,5,10).

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Задача 6. На координатной плоскости XOY построить прямые по их уравнениям. По коэффициентам уравнений найти векторы, перпендикулярные к прямым, и нанести их на рисунок. Определить угловые коэффициенты указанных прямых (если прямая не вертикальна) [6, с. 81-87].

3х-у+1=0,

у=5х, 2х=7,

10-у=0.

2х+у-3=0,

у=

3х=-12,

у-4=0.

х-2у+4=0,

у=4х,

=4,

2у-9=0.

х+3у-2=0,

у=

4х=22,

7-2у=0.

у-х+3=0,

у=-3х, х=5, у-4,5=0.

–2x+3у-1=0, 2у=-1,5х,

х=3, 2у+7=0.

х-3у+4=0,

у=-4,3х, х=3,5,

у-4=0.

4х=у-2=0,

у=

х,

х=6,

y +8=0.

4х-3у+5=0, 3у=5х,

3х=-12,

у-7=0.

10.

х-4у-3=0,

у=

х,

х=1,

у+6=0.

11. x+y+1=0,

y=6x,

3x=6,

2-y=0.

12.

2x − y + 5 = 0,

y = −

x = 4,

7 y +14 = 0 .

13. x + 3y − 2 = 0,

y = 3x,

x = −2,5,

y − 4 = 0 .

14. 3x − y + 5 = 0,

3y = 2x,

x = 6, − 2 y + 5 = 0 .

15. − x = 2 y − 3 = 0,

y = −

x = −4, y + 6 = 0 .

16. − 2x − y + 8 = 0,

2 y = 5x,

x = 3,5, y − 5 = 0 .

17. − 3x − 2 y + 6 = 0,

y = 4x,

x = 5,

− y + 6 = 0.

18. x + 3y − 7 = 0,

3y = −2x,

x =8,

− 2 y + 7 = 0 .

19.	− 2x + y −1 = 0,	y = −	3	x,	x = −6,5, y − 4 = 0 .
			2

20.	3x + 2 y −8 = 0,	y = −2x,			x = 3, y − 2,5 = 0 .

Задача 7. Используя данные своего варианта из задачи 3: а) написать уравнения прямых АВ и АС;

б) вычислить угол между этими прямыми через их угловые коэффициенты; в) написать уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС; г) найти длину высоты треугольника, опущенный из вершины В [6, с. 74-90].

Задача 8. Дано уравнение кривой в полярной системе координат. Требуется:

а) построить в полярной системе координат точки этой кривой, давая ϕ

значения 0, π6 , π4 , π3 , π2 , 23π , 34π , 56π ,π ;

б) перейдя к уравнению той же кривой в декартовой системе координат, показать, что это уравнение кривой второго порядка;

в) преобразовав уравнение, выяснить, какая это кривая, и нарисовать ее на координатной плоскости [6, с. 91-110].

1.	ρ =						10			,		2. ρ =								3				,		3. ρ =						4	,
1.	ρ =		5			−2cosϕ				,		2. ρ =							1 −cosϕ					,		3. ρ =			2 −cosϕ				,
			5			−2cosϕ													1 −cosϕ										2 −cosϕ
4.	ρ =						8	,				5.	ρ =							1					,	6.	ρ =					5			,
4.	ρ =			3 + cosϕ				,				5.	ρ =			2 + 2cosϕ									,	6.	ρ =			3 −2 cosϕ					,
7.	ρ =						10	,				8. ρ =								3		,				9. ρ =						1	,
7.	ρ =		2			−cosϕ		,				8. ρ =			1			−cosϕ				,				9. ρ =		3	−3cosϕ				,
			2			−cosϕ									1			−cosϕ										3	−3cosϕ
10.		ρ =					5				,	11.	ρ =							6					,	12.	ρ =					3		,
10.		ρ =				6	+3cosϕ				,	11.	ρ =				5			− 2sinϕ					,	12.	ρ =				1	−sinϕ		,
						6	+3cosϕ										5			− 2sinϕ											1	−sinϕ
13.		ρ =					4	,				14.	ρ =							8	,					15. ρ =						1	,
13.		ρ =			1−sinϕ			,				14.	ρ =	3			+sinϕ				,					15. ρ =		2		+ 2sinϕ			,
					1−sinϕ									3			+sinϕ											2		+ 2sinϕ
16.		ρ =					5				,	17.	ρ =							8			,			18.	ρ =					−1	,
16.		ρ =				4	−3sinϕ				,	17.	ρ =						2 −sinϕ				,			18.	ρ =			1−sinϕ			,
						4	−3sinϕ												2 −sinϕ											1−sinϕ
19.		ρ =					5		,			20.	ρ =							6					.
19.		ρ =			1		+sinϕ		,			20.	ρ =					6		−3sinϕ					.
					1		+sinϕ											6		−3sinϕ

Задача 9. Используя данные своего варианта из задачи 5:

а) написать уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно стороне ВС;

б) написать уравнение грани АВС;

в) написать уравнения прямой, проходящей через точки С и D , перейти от канонического задания этой прямой к заданию в общем виде и к параметрическому заданию;

г) найтиточкупересеченияэтойпрямойсплоскостьюx+y+z=1 [6, с. 118-132].

Контрольная работа №2

Введение в математический анализ

Задача 1. Вычислить следующие пределы [6, с. 159-170]:

1. а) limx→∞	2x3 − 3x2 −11		x2 −3x + 2
		, б) limx→2		,
	x 4 + 5x3 − 6		x2 − 4

2. а)

lim

x3 +1

, б)

lim

x2 −6x −7

−9x +14

x→∞ 2x3 +8x +5

x→7

lim

1−cos x

2x −1

в)

г) lim

2x +1

x→0

x→∞

а)

lim

3x3 + x 2 −5

б)

lim

+ x −2

+ x

−2

− x

x→∞

x→1 x

lim

1−cos 2x

4x +1

2x−3

в)

arcsin 3x

г)

lim

x→0

x→∞

а)

lim

3x4 + x 2 −6

б)

lim (1+2x )1/ x

x→∞ 2x

− x +2

x→0

в )

lim

x2 −9

г) lim

−

2x −

x→3 x

x→0 arctg x

5. а)	lim	2x 2		+6x −5	, б)	lim	3x +6			,
			2	− x −1
								3	+8
	x→∞ 5x					x→−2 x

в)

lim

cos x

−cos3

г)

lim x[ln(x +1) −ln x]

x→0

x→∞

а)

lim

3+ x −5x4

б)

lim

3x 2

+5x +2

−12x +1

−1

x→∞ x

x→−1

в)

lim

x2 ctg2x

г)

lim (1−4x)(1−x) / x .

sin 3x

x→0

а)

lim

x −2x 2 +5x4

б)

lim

6 −5x + x2

−8

x→∞ 2 +3x + x

x→2

sin x

−

cos x

lim

в)

lim

г)

x→0

sin 2x

x→∞ x +1

−3x +1

а)

lim

б)

lim

−9

+ x −5

−3x

x→∞ 3x

x→3 x

tg 2 2x

3x −2

в)

lim

г)

lim

x→0

x→∞ 3x +1

а)

lim

4 −

б)

lim

x2 −10x +25

−

4x −5

x→∞

x→5

в)

lim

1−cos 4x

г)

lim (3x −5)2x /(x2 −4)

2x tg2x

x→0

x→2

10.

а)

lim

8x5 −3x2 +9

б)

lim

x3 +8

+2x

− x −

x→∞ 2x

x→−2

в)

lim 5x ctg3x

г)

lim(3x −8)2/(x−3) .

x→0

x→3

11.

а)

lim

x3 −5

б)

lim

x2 −2x −3

8x −1

−9

x→∞ x

x→3

в)

lim

г)

lim (1+2 / x) x .

x→0 sin 3x

x→∞

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика