Методическое пособие 117
.pdfном случае вычитайте из этого числа 20 до тех пор, пока остаток не станет меньше 21. Тогда этот остаток и есть номер вашего варианта.
Условие задачи состоит из общей для всех вариантов формулировки и двадцати вариантов конкретных данных. Именно для этих данных вам надлежит выполнить решение своего варианта.
При оформлении контрольной работы условия задач следует переписывать полностью. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради с полями и сдается (отсылается) для проверки в установленное деканатом время.
Контрольная работа №1
Системы линейных уравнений
Задача 1. Решить неоднородную систему методом Гаусса и методом Крамера. Определители вычислять, разлагая по строке или столбцу. [6, с. 9-23].
2x + y − 3z = 7 |
x + 2 y + z = 4 |
2x − 4 y + 9z = 7 |
||
1. x − y + 2z = −3 |
2. 3x − 5y + 3z = 4 |
3. 7x + 3y − 6z = 4 |
||
x + 2 y − z = 6 |
2x + 7 y − z =8 |
− x + 2 y − 5z = −4 |
||
x + 2 y + 3z = 6 |
3x − y + z =8 |
x + 2 y + 3z = 6 |
|
|
4. 2x + y + 3z = 3 |
5. 2x + y − 2z =1 |
6. 2x + y + 3z = 3 |
|
|
3x + 2 y + z = 2 |
x − 2 y + 3z = 7 |
3x + 2 y + z = 2 |
|
|
2x − 3y + z = 0 |
2x + y − 3z = 6 |
x + y + z =1 |
||
7. x + y − z = −1 |
8. x − 3y + z = 4 |
9. 2x − y + z = 2 |
||
4x + 3y − 4z = −3 |
x + 2 y − z =1 |
x − 2 y − z = −2 |
||
x − y − 2z = 2 |
x + 2 y − z = −2 |
3x − y + z = 7 |
|
|
10. − 2x + 2 y + z = −1 |
11. 2x + 7 y + z = −4 |
12. 2x + y + 3z = 7 |
|
|
2x − 3y + z = −2 |
3x − y + 2z = 6 |
x − y + z = 3 |
|
|
x + y − z =3 |
2x − y + 3z =3 |
− x + y + z =1 |
||
13. 3x + y − 2z =5 |
14. x − 0 + z =1 |
15. 2x −3y − |
=1 |
|
2x − 3y + z = −5 |
3x + 2 y − z = −3 |
x + y |
|
= 0 |
3x − y = 6 |
2x − y + z = 5 |
− x + 2 y − 3z = −2 |
||
16. 2x + 3z = 9 |
17. x + 2 y − z = 5 |
18. x − y |
= 0 |
|
− x + y − z = −3 |
3x − y + 2z =8 |
3x + y − 2z = 2 |
|
|
3x + 2z =8 |
2x − y + z = −4 |
|
|
|
19. x + y − z = 0 |
20. 3x + 2 y − z = 7 |
|
|
|
2x + y + 2z =8 |
− x + y + 2z =1 |
|
|
|
11
Задача 2.Узнать с помощью определителя имеет ли однородная система ненулевое решение. Применяя метод Гаусса, найти общее решение систе-
мы [6, с. 20-21].
x − y − z = 0
1.x + 4 y + 2z = 03x + 7 y + 3z = 0
3x + 2 y − z = 02x − y + 3z = 0
x + 3y − 4z = 03.
x + 3y − 3z = 0
5.4x + 5y − z = 02x − y + 5z = 0
3x + 2 y − 4z = 02x − y + 3z = 0
12x − y + 5z = 07.
2x − 4 y − z = 0
9.x + y − 2z = 05x − 3y − 6z = 0
x + y + z = 0
11.3x − 3y + 3z = 0x − 2 y + z = 0
2x + y − z = 0
3x + 3y − 3z = 0
x + 2 y − 2z = 013.
x − y − 2z = 0
15.2x − y + 3z = 04x − 3y − z = 0
2x − y − z = 0
3x + 2 y + 3z = 0
x + 3y + 4z = 017.
x − y + 2z = 0
19.2x + 4x + 4 y − z = 05x + y + 6z = 0
2x − y + 3z = 0 |
|
2. − 2x + 3y + 2z = 0 |
|
|
2 y + 5z = 0 |
|
2x − y + 3z = 0
4.x + 2 y − 5z = 03x + y − 2z = 0
3x −10 y − 4z = 0
6.2x −10 y + 3z = 0y + z = 0
2x − 2 y − z = 0 8. x + y − 5z = 0
5x − 3y − 4z = 02x + y + z = 0
10.x + 2 y − z = 02x − y + 3z = 0
x − y + 3z = 0
12.2x + 3y + 2z = 0− x − 4 y + z = 0x + y − 5z = 0
14.3x − 2z = 02x − y + 3z = 0
3x − y − z = 0
16.x + 2z = 0x − y − 5z = 0x + y − 2z = 0
18.2x − y + z = 05x − y = 0
2x − y − z = 0
20.x + 2 y + z = 04x + 3y + z = 0
12
Векторная алгебра и ее применение
Задача 3. На плоскости дана прямоугольная система координат XOY и
базис e1, e2 , состоящий из векторов единичной длины, направленных по соответствующим осям координат. Построить на плоскости XOY точки A, B, C
по их координатам. Построить векторы a |
и |
b |
|
|
|
по их координатам в базисе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
AB , |
AC и BC в базисе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e2 . Найти координаты векторов d |
=α a + β |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e1, |
e2 [6, с. 37-58]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
A(4,2), B(−1,5), |
C(−5,−8), |
a = (5,−2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (3,7), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −3a + |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
d |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
A(−2,6), |
B(−5,−3), C(1,4), |
a = (3,1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (7,−1), |
|
|
|
|
|
|
= 2a − 3 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
d |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
A(2,3), B(−3,1), |
C(3,4), a = (3,−2), |
|
|
= (4,1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
d |
= 2a + b . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
A(−4,1), |
B(−1,3), C(2,−2), |
a = (−1,6), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−5,2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a − |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
d |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
A(−3,5), |
B(−5,−1), C(3,−1), |
|
a = (−2,4), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−3,−2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a + 2 |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
d |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
A(−4,2), |
B(−4,−3), C(3,1), |
a = (−3,2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1,−4); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
d |
|
|
= 2a − b . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
A(−4,−2), |
B(−2,−6), C(1,3), |
|
a = (−5,−2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (2,−3); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2a + 2 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
d |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
A(−3,1), |
B(−1,−5), C(3,2), |
a = (−3,−2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (4,−1); |
|
|
|
|
|
= a − 3 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
d |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
A(1,−4), |
B(5,−1), C(−3,2), |
a = (5,2), |
|
|
|
|
|
= (1,−3); |
|
|
|
|
= a + 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
d |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
A(2,−5), |
B(6,−1), C(−2,1), |
|
a = (4,4), |
|
|
|
|
|
|
= (1,−6); |
|
|
|
|
|
|
= −a − 2 |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
d |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
A(6,3), |
B(−2,−7), C(−5,3), |
|
a = (2,4), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−3,1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2a + |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
d |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
A(7,3), |
B(1,10), C(−5,−3), |
|
a = (−2,6), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (3,1); |
|
|
|
|
= 2a − 3 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
d |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
A(−3,−5), B(3,5), |
C(10,−2), |
a = (−3,−3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (3,2); |
|
|
|
|
|
|
|
= −2a + |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
d |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
A(−3,7), |
B(6,−3), |
C(−8,−4), |
a = (4,2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (2,−3); |
|
|
|
|
|
= a + 2 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
d |
b |
13
15. |
A(6,−4), |
B(−3,−7), |
C(−5,3), a = (−2,3), |
|
|
|
|
= (2,5); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b |
d |
|
|
= −3a + b . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
A(7,4), |
B(−2,6), C(−3,−5), |
a = (2,−3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−4,2); |
|
|
|
|
= 3a + 2 |
|
|
. |
|||||||||||||||||
b |
d |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
A(2,7), |
B(−8,6), C(7,3), a = (−3,−3), |
|
|
|
= (2,3); |
|
|
|
= 3a + 4 |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
b |
d |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
A(2,−7), |
B(11,4), C(−5,3), |
a = (3,−2), |
|
|
|
|
|
= (5,3); |
|
|
|
= 3a − 2 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
b |
|
d |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
A(4,−8), |
B(11,4), |
C(1,12), |
a = (−3,−2), |
|
|
|
|
|
|
|
= (−5,3); |
|
|
|
= 2a − |
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
d |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
A(−6,−7), B(−7,5), |
C(8,2), |
a = (2,−4), |
|
|
|
|
|
= (−3,−3); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
d |
= 2a + b . |
Задача 4. Даны длины векторов a и b и угол между ними. Требуется: а) используя определение и свойства скалярного произведения, вычислить:
X = (αa + β b ) (γ a +δ b ) ;
б) используя определение и свойства векторного произведения, выразить d = (α a + β b ) ×(γ a +δ b ) через вектор a ×b .
в) найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах [6, с. 60-70].
1. a = 3, b = 4,ϕ = 300 , X = (3a − 2b ) (a + 2b ), d = (a − b ) ×(2a + b ) .
2. |
|
a |
|
|
|
= 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5,ϕ = 450 , X = (2a + |
|
|
|
|
|
) (a −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b |
b |
b |
), d |
|
|
= (3a +b )×(a −2b ) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
a |
|
|
|
= 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2,ϕ = 600 , X = (a − 3 |
|
|
|
|
) (3a + |
|
|
|
), |
|
|
|
|
|
= (4a − |
|
|
|
|
|
|
) ×(3a + 2 |
|
|
|
|
|
) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
b |
d |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
a |
|
= 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5,ϕ =1200 , X = (a + 2 |
|
|
|
|
|
) (2a − 3 |
|
|
|
), |
|
|
|
|
|
= (a + |
|
|
|
|
|
|
) ×(2a − |
|
|
|
|
) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
b |
d |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
a |
|
= 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4,ϕ =1350 , X = (a + 3 |
|
|
|
) (3a − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (a + |
|
|
) ×(a − |
|
) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
b |
), d |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
a |
|
=10, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2,ϕ =1500 , X = (3a − |
|
|
) (a + |
|
|
|
), |
|
|
|
|
= (a + 3 |
|
|
|
) ×(a − 2 |
|
|
|
) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
b |
d |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
a |
|
= 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4,ϕ = 300 , X = (a − |
|
) (−2a + 3 |
|
|
|
|
|
= (3a − |
|
|
) ×(a − 2 |
|
|
) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
b |
), d |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
a |
|
= 7, |
|
|
|
|
= 3,ϕ = 450 , X = (2a + 3 |
|
) (a − 2 |
|
|
= (a + 3 |
|
) ×(3a − |
|
) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
b |
), d |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
9. a = 4, b = 6,ϕ = 600 , X = (2a − b ) (a − b ), d = (2a − b ) ×(a + 2b ) . 10. a = 9, b = 3,ϕ =1350 , X = (a + b ) (a − 3b ), d = (a − b ) ×(4a + b ) .
11.a = 5, b = 2,ϕ = 300 , X = (2a + b ) (a − b ), d = (2a − 3b ) ×(a + b ) .
12.a = 3, b = 4,ϕ = 600 , X = (a + b ) (3a + 4b ), d = (a + 2b ) ×(3a − b ) .
13.a = 4, b = 2,ϕ = 450 , X = (3a − b ) (a + 2b ), d = (2a + 3b ) ×(a − 2b ) .
14.a = 2, b = 5,ϕ = 900 , X = (a + 3b ) (2a + 2b ), d = (a − b ) ×(4a + 5b ) .
15. |
|
|
|
a |
|
= 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2,ϕ =1200 , X = (5a + |
|
|
|
|
) (2a + 3 |
|
|
|
|
), |
|
|
|
|
= (a + 2 |
|
|
) ×(3a + |
|
|
|
) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
b |
d |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
|
|
|
a |
|
= 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4,ϕ =1350 , X = (a − |
|
|
|
|
) (3a + 2 |
|
|
|
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
= (2a + |
|
|
|
) ×(a − 2 |
|
|
) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
b |
d |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
|
|
|
a |
|
= 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3,ϕ =1500 , X = (2a − |
|
|
|
) (a − 4 |
|
|
|
|
), |
|
|
|
|
= (a + 3 |
|
|
) ×(a − |
|
) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
b |
b |
d |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
|
|
|
a |
|
= 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2,ϕ = 300 , X = (3a + 4 |
|
) (2a + |
|
|
), |
|
|
= (−2a + |
|
) ×(−a + |
|
) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
b |
b |
d |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
|
|
|
a |
|
= 2, |
|
|
|
|
|
|
= 5,ϕ = 450 , X = (a + 3 |
|
|
) (5a − |
|
|
|
|
|
= (3a + |
|
|
) ×(−2a − |
|
) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
b |
b |
), d |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
|
|
|
a |
|
= 3, |
|
|
|
|
|
= 4,ϕ = 600 , X = (a − |
|
) (3a + |
|
), |
|
= (a + 3 |
|
) ×(a + |
|
) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
b |
b |
d |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD . Требуется найти: а) скалярное произведение AB AC ;
б) длины сторон AB и AC ; в) угол между ними;
г) площадь грани ABC ;
д) объем пирамиды ABCD [6, с. 60-73].
1.А (1,1,1), В (6,3,1), С (3,6,1), D (2,3,5).
2.А (2,-1,1), В (0,2,1), С (0,-1,5), D (2,2,9).
15
3.А (1,2,-2), В (2,1,1), С (-1,4,-1), D (4,0,3).
4.А (1,3,2), В (3,2,2), С (1,4,2), D (1,3,5).
5.А (2,2,1), В (3,5,4), С (1,6,0), D (1,4,7).
6.А (4,1,1), В (3,4,2), С (4,6,1), D (3,3,7).
7.А (0,2,1), В (3,4,2), С (3,5,1), D (1,2,6).
8.А (2,1,0), В (1,3,2), С (3,4,1), D (2,3,7).
9.А (2,-2,0), В (3,3,1), С (0,4,2), D (1,3,6).
10.А (-1,3,2), В (1,2,2), С (1,9,1), D (1,5,10).
11.A(1,5,10), B(−1,3,−6), C(2,3,7), D(1,2,6).
12.А (1, 1, 1), В (2, -1,1), С (1, 2, -2), D(2, 7, 5).
13.A (1,3,2), B (2,2,1), C (4,1,1), D(2,2,9).
14.A (2,1,0), B (2,-2,0), C (-1, 3,2), D(4,0,3).
15.A (6,7,1), B (0,2,1), C (2,1,1), D(1,3,5).
16.A (3,2,2), B (3,5,4), C (3,4,2), D (1,4,7).
17.A (1,3,2), B (3,3,1), C (1,8,2), D (7,3,7).
18.A (3,6,1), B (0,-1,5), C (1,4,2), D (1,3,6).
19.A (1,6,0), B (3,5,1), C (3,6,1), D (2,3,7).
20.A (3,4,1), B (0,4,2), C (1,9,1), D (1,5,10).
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Задача 6. На координатной плоскости XOY построить прямые по их уравнениям. По коэффициентам уравнений найти векторы, перпендикулярные к прямым, и нанести их на рисунок. Определить угловые коэффициенты указанных прямых (если прямая не вертикальна) [6, с. 81-87].
16
1. |
3х-у+1=0, |
у=5х, 2х=7, |
10-у=0. |
|
||||||||||||||
2. |
2х+у-3=0, |
у= |
x |
|
, |
|
3х=-12, |
у-4=0. |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
х-2у+4=0, |
у=4х, |
|
3x |
=4, |
2у-9=0. |
||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
х+3у-2=0, |
у= |
x |
|
, |
|
4х=22, |
7-2у=0. |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
у-х+3=0, |
у=-3х, х=5, у-4,5=0. |
|
|||||||||||||||
6. |
–2x+3у-1=0, 2у=-1,5х, |
|
х=3, 2у+7=0. |
|||||||||||||||
7. |
х-3у+4=0, |
у=-4,3х, х=3,5, |
у-4=0. |
|||||||||||||||
8. |
4х=у-2=0, |
у= |
1 |
х, |
|
х=6, |
|
y +8=0. |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
4х-3у+5=0, 3у=5х, |
3х=-12, |
у-7=0. |
|||||||||||||||
10. |
х-4у-3=0, |
у= |
7 |
х, |
|
х=1, |
у+6=0. |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. x+y+1=0, |
y=6x, |
|
3x=6, |
2-y=0. |
|
|||||||||||||
12. |
2x − y + 5 = 0, |
y = − |
x |
, |
|
x = 4, |
7 y +14 = 0 . |
|||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
13. x + 3y − 2 = 0, |
y = 3x, |
|
|
x = −2,5, |
y − 4 = 0 . |
|||||||||||||
14. 3x − y + 5 = 0, |
3y = 2x, |
x = 6, − 2 y + 5 = 0 . |
||||||||||||||||
15. − x = 2 y − 3 = 0, |
|
|
y = − |
x |
, |
|
x = −4, y + 6 = 0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
16. − 2x − y + 8 = 0, |
|
2 y = 5x, |
|
x = 3,5, y − 5 = 0 . |
||||||||||||||
17. − 3x − 2 y + 6 = 0, |
|
y = 4x, |
|
x = 5, |
− y + 6 = 0. |
|||||||||||||
18. x + 3y − 7 = 0, |
3y = −2x, |
x =8, |
− 2 y + 7 = 0 . |
17
19. |
− 2x + y −1 = 0, |
y = − |
3 |
x, |
x = −6,5, y − 4 = 0 . |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
20. |
3x + 2 y −8 = 0, |
y = −2x, |
x = 3, y − 2,5 = 0 . |
Задача 7. Используя данные своего варианта из задачи 3: а) написать уравнения прямых АВ и АС;
б) вычислить угол между этими прямыми через их угловые коэффициенты; в) написать уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС; г) найти длину высоты треугольника, опущенный из вершины В [6, с. 74-90].
Задача 8. Дано уравнение кривой в полярной системе координат. Требуется:
а) построить в полярной системе координат точки этой кривой, давая ϕ
значения 0, π6 , π4 , π3 , π2 , 23π , 34π , 56π ,π ;
б) перейдя к уравнению той же кривой в декартовой системе координат, показать, что это уравнение кривой второго порядка;
в) преобразовав уравнение, выяснить, какая это кривая, и нарисовать ее на координатной плоскости [6, с. 91-110].
1. |
ρ = |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
, |
|
2. ρ = |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
, |
|
3. ρ = |
|
|
|
|
4 |
|
, |
|
|
|
|||||||||||
5 |
−2cosϕ |
|
|
1 −cosϕ |
|
|
2 −cosϕ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4. |
ρ = |
|
|
|
8 |
|
|
, |
|
|
|
5. |
ρ = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
6. |
ρ = |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
, |
||||||||
3 + cosϕ |
|
|
|
|
|
2 + 2cosϕ |
|
|
3 −2 cosϕ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
ρ = |
|
|
|
|
10 |
|
|
, |
|
|
|
8. ρ = |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
, |
|
|
|
|
9. ρ = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|||||
2 |
−cosϕ |
|
|
|
1 |
−cosϕ |
|
|
|
3 |
−3cosϕ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
10. |
ρ = |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
, |
11. |
ρ = |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
, |
12. |
ρ = |
|
|
3 |
|
|
|
, |
||||||||||||
|
6 |
+3cosϕ |
5 |
− 2sinϕ |
|
1 |
−sinϕ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
13. |
ρ = |
|
|
4 |
|
|
, |
|
|
|
14. |
ρ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
, |
|
|
|
|
|
15. ρ = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|||||||
1−sinϕ |
|
|
|
3 |
+sinϕ |
|
|
|
|
|
2 |
+ 2sinϕ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
16. |
ρ = |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
, |
17. |
ρ = |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
, |
|
18. |
ρ = |
|
|
|
−1 |
, |
|
|
|||||||||||||
|
4 |
−3sinϕ |
|
|
2 −sinϕ |
|
1−sinϕ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
19. |
ρ = |
|
|
5 |
|
|
|
, |
|
|
20. |
ρ = |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
+sinϕ |
|
|
|
|
6 |
−3sinϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
Задача 9. Используя данные своего варианта из задачи 5:
а) написать уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно стороне ВС;
б) написать уравнение грани АВС;
в) написать уравнения прямой, проходящей через точки С и D , перейти от канонического задания этой прямой к заданию в общем виде и к параметрическому заданию;
г) найтиточкупересеченияэтойпрямойсплоскостьюx+y+z=1 [6, с. 118-132].
Контрольная работа №2
Введение в математический анализ
Задача 1. Вычислить следующие пределы [6, с. 159-170]:
1. а) limx→∞ |
2x3 − 3x2 −11 |
x2 −3x + 2 |
|
|
|
, б) limx→2 |
|
, |
|
x 4 + 5x3 − 6 |
x2 − 4 |
lim |
arcsin 3x |
x +5 |
x+4 |
|||
|
|
lim |
|
|
||
sin 2x , |
||||||
|
||||||
в) x→0 |
г) x→∞ x −2 |
. |
2. а) |
lim |
|
x3 +1 |
|
, б) |
lim |
x2 −6x −7 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
−9x +14 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ 2x3 +8x +5 |
|
x→7 |
|
|
|
|||||||||
|
lim |
1−cos x |
|
|
|
|
2x −1 |
x |
|
||||||
в) |
|
|
|
|
, |
г) lim |
|
|
|
. |
|
||||
|
5x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2x +1 |
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
3. |
а) |
lim |
3x3 + x 2 −5 |
, |
б) |
lim |
|
x2 |
+ x −2 |
, |
|||||||||||||||||
|
2x |
3 |
+ x |
−2 |
|
|
|
|
|
2 |
− x |
|
|
||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
x→1 x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
lim |
1−cos 2x |
|
|
|
|
|
|
4x +1 |
2x−3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
в) |
arcsin 3x |
, |
|
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
4x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
а) |
lim |
3x4 + x 2 −6 |
|
, |
б) |
lim (1+2x )1/ x |
, |
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ 2x |
|
|
− x +2 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
в ) |
lim |
|
|
|
x2 −9 |
|
|
, |
|
г) lim |
|
|
5x |
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
− |
2x − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x→3 x |
|
|
|
x→0 arctg x |
|
|
|
19
5. а) |
lim |
2x 2 |
|
+6x −5 |
, б) |
lim |
3x +6 |
, |
||
|
2 |
− x −1 |
|
|
|
|||||
|
|
3 |
+8 |
|||||||
|
x→∞ 5x |
|
|
x→−2 x |
|
|
|
в) |
|
lim |
|
|
cos x |
−cos3 |
|
x |
, |
г) |
|
lim x[ln(x +1) −ln x] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
а) |
|
lim |
|
|
|
|
3+ x −5x4 |
|
|
|
|
|
, |
|
б) |
|
lim |
|
3x 2 |
+5x +2 |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
−12x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
lim |
|
|
x2 ctg2x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
г) |
|
lim (1−4x)(1−x) / x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7. |
а) |
|
lim |
|
|
|
|
x −2x 2 +5x4 |
|
|
, |
|
б) |
lim |
6 −5x + x2 |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
−8 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x→∞ 2 +3x + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
− |
cos x |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5x |
2 |
|
−3x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8. |
а) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
б) |
|
lim |
|
x |
|
−9 |
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ x −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−3x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tg 2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −2 |
2x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 3x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9. |
а) |
|
lim |
|
|
7x |
4 − |
2x |
3 |
+ |
2 |
|
|
|
|
, |
б) |
lim |
|
x2 −10x +25 |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− |
4x −5 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
lim |
|
1−cos 4x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim (3x −5)2x /(x2 −4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x tg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
10. |
а) |
lim |
|
|
|
8x5 −3x2 +9 |
|
|
, |
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
x3 +8 |
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
+2x |
2 |
|
+5 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
− x − |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim 5x ctg3x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim(3x −8)2/(x−3) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11. |
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
x3 −5 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
б) |
|
lim |
|
x2 −2x −3 |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
+ |
8x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
−9 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
lim (1+2 / x) x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
.
.