3. Термодинамика

Дано:

СИ:

Решение:

Удельной теплоемкостью вещества называется величина, численно равная количеству тепла, которое нужно сообщить каждому килограмму тела, чтобы повысить его температуру на 1 кельвин.

Теплоемкость 1 моля вещества соответственно называется молярной теплоемкостью .

Две эти величины связаны соотношением: .

Для нахождения – молярной теплоемкости газа при постоянном объеме – запишем первое начало термодинамики с учетом равенства нулю работы при постоянном объеме:

,

где – масса смеси газов.

(1)

Учитывая (1), получаем:

Разделим на , и после преобразований получим выражение для молярной теплоемкости смеси газов:

. (2)

Найдем удельную теплоемкость газа с учетом зависимости молярной теплоемкости от числа степеней свободы газа: .

.

, где для кислорода, как для двухатомной молекулы

, а молярная масса ;

, где для метанола, как для сложной молекулы

, молярная масса ;

Т.о., получаем, что удельная теплоемкость смеси газов равна:

Воспользовавшись уравнением Майера, получим выражение для молярных теплоемкостей: , получим выражение для удельной теплоемкости смеси газов при постоянном давлении:

Показатель адиабаты смеси газов найдем по формуле:

Ответ:

Дано:

СИ:

Решение:

Частично диссоциировавший водород состоит из атомарного водорода (H) и молекулярного

водорода (H₂). Количество вещества атомарного водорода в такой смеси:

,

где - степень диссоциации, - масса смеси, - молярная масса молекулярного водорода.

Количество вещества молекулярного водорода:

.

Удельную теплоемкость частично диссоциировавшего газа найдем из следующих соображений: для нагревания такой смеси на необходимо затратить количество теплоты:

, где и - молярные теплоемкости соответственно атомарного и молекулярного водорода. Подставляя выражения для количеств веществ и , получим:

Отсюда, удельная теплоемкость смеси:

Молярная теплоемкость атомарного водорода

.

Следовательно

Ответ:

Дано:

СИ:

Решение:

КПД двигателя равен отношению полезной работы к величине полученной от сгорания топлива энергии:

.

Работу двигателя найдем, исходя из развиваемой им мощности:

, отсюда: .

Работа, совершаемая двигателем на пути равна:

.

Количество тепла, получаемого при сгорании топлива в единицу времени, равно:

.

Для решения задачи пересчитаем расход топлива, приходящийся на единицу длины. Так как при скорости расход составляет , это означает, что на каждые расходуется топлива. Или

Т.о.,

Ответ: .

Дано:

СИ:

Решение:

При изобарном процессе количество теплоты можно выразить через теплоемкость при постоянном давлении :

,

где ,

число степеней свободы , т.к. газ

двухатомный.

.

.

Давление определяется атмосферным давлением и давлением поршня

.

,

.

Ответ: .

Дано:

СИ:

Решение:

Ответ: .

Дано:

СИ:

Решение:

Полная энергия излучения генератора за время :

.

За то же время в виде тепла в генераторе выделится энергия:

,

идущая на нагревание воды. Тогда объем воды будет равен

.

В час это составит:

.

Ответ: .

Дано:

СИ:

Решение:

1) Изотермический процесс: .

,

По закону Бойля-Мариотта:

.

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, получаем:

Работа над газом:

2) Для адиабатного процесса давление и объем связаны уравнением Пуассона:

, где ,

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:

,

.

Согласно первому началу термодинамики:

. Для адиабатного процесса , поэтому:

Ответ:

Дано:

СИ:

Решение:

В ходе процесса на изохорном участке работа не совершается, поэтому определим работу в изобарном процессе:

(использовалось уравнение состояния идеального газа)

Для нахождения воспользуемся законом Шарля для изохорного процесса:

или ;

.

Отсюда:

Ответ: .

Дано:

СИ:

Решение:

Учитывая, что (i = 5) и используя уравнение Менделеева-Клапейрона, получаем:

Аналогично определяем

.

Ответ: .

Дано:

СИ:

Решение:

Работа за цикл равна:

Используя рисунок, получаем:

, , , .

Следовательно:

.

Для участка имеем:

;

для участка : .

Тогда:

, или

Ответ: .

Дано:

СИ:

Решение:

К.п.д. цикла равен:

На диаграмме работа равна площади цикла, в нашем случае

.

В цикле тепло подводится на участке :

В изохорном процессе ,

.

Для изобарного процесса

.

Тогда:

.

В цикле теплота подводится в процессе . По первому закону термодинамики:

;

работа определяется из графика, как площадь трапеции:

,

тогда:

.

Так как

,

и .

Ответ: .

Дано:

СИ:

Решение:

Для цикла Карно к.п.д.:

,

или ,

Холодильным коэффициентом называется отношение:

.

Ответ: .

Дано:

СИ:

Решение:

К.п.д. цикла вычисляется по формуле:

Аналогично задаче 3.10 получаем:

Теплота в цикле подводится в процессах и :

;

тогда

;

Учитывая, что:

получаем: ,

тогда:

.

Ответ: .

Дано:

СИ:

Решение:

К.п.д. цикла находим по формуле:

.

Теплообмен происходит на участках 1-2 и 3-1. Учитывая выражения для теплоемкостей идеального газа при постоянных давлении и объеме:

; ,

получаем:

1)

количество теплоты, получаемой и отдаваемой на участках 1-2 и 3-1:

Для изобарного процесса:

или .

Для адиабатного процесса:

или .

Тогда, учитывая, что

, получаем:

2)

Теплообмен происходит на участках 1-2 и 2-3, количество теплоты, получаемой и отдаваемой при этом газом равно:

Для изобарного процесса:

или .

Для адиабатного процесса:

или .

Тогда

Ответ: 1)

2) .

Дано:

СИ:

Решение:

Приращение энтропии определяется формулой: ,

где .

.

Разделим уравнение на :

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:

,

откуда: .

Тогда

.

.

Для :

,

следовательно:

Ответ:

Дано:

СИ:

Решение:

Вид цикла Карно на диаграмме P-V зависит от свойств совершающего цикл вещества. В него входит два изотермических процесса и два адиабатных. Для идеального газа цикл представлен на рисунке

При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остаётся постоянной. Поэтому количество полученной газом теплоты равно работе , совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2. Эта работа равна

где – масса идеального груза в

машине. Количество отдаваемой холодильнику теплоты равно работе , затрачиваемой на сжатие газа при переводе его состояния 3 в состояние 4. Эта работа равна

.

Для того чтобы цикл был замкнутым, состояния 1 и 4 должны лежать на одной и той же адиабате. Отсюда получаем условие

.

Состояния 2 и 3 удовлетворяют аналогичному условию:

.

Объединяя эти соотношения, получаем:

Подставив соответствующие значения и в выражение для КПД, получаем:

.

Ответ: .

Дано:

СИ:

Решение:

Цикл Дизеля двигателя внутреннего сгорания осуществляется следующим образом:

: всасывание воздуха в цилиндр (практически при постоянном давлении, обычно равном атмосферному);

: адиабатическое сжатие воздуха, в конце которого происходит впрыск топлива в цилиндр и его воспламенение;

рис. исправлен

: горение топлива и расширение продуктов сгорания при постоянном давлении (изобарный подвод тепла);

: при подходе поршня к точке 3 горение заканчивается, расширение становится адиабатическим;

: в конце расширения (точка 4) открывается выпускной клапан, давление продуктов сгорания падает до атмосферного – изохорный отвод тепла;

: выталкивание поршнем остатков продуктов сгорания из цилиндра.

Главное отличие заключается в том, что применяется весьма большая степень сжатия (до 30 – 35 атмосфер и более). Так как сжатие это происходит приблизительно адиабатически, то достигается большое повышение температуры. Этого повышения температуры достаточно для воспламенения горючей смеси, так что двигатель Дизеля не требует воспламенения горючей смеси с помощью искры. Горючая смесь взбрызгивается в цилиндр по окончании сжатия, причем взбрызгивается она постепенно, что обуславливает ее относительно медленное сгорание при изобарном расширении. Эти особенности двигателя Дизеля позволяют получить более высокий КПД, чем у четырехтактных двигателей с воспламенением искрой. Кроме того, двигатели Дизеля работают на более тяжелом топливе (нефть).

Для определения полной работы , совершаемой в цикле Дизеля, воспользуемся законом сохранения энергии:

,

где – тепло, выделившееся при сгорании смеси, – тепло, отданное окружающему пространству.

Так как по условию сгорание смеси происходит изобарно (ветвь ), то

Процесс, связанный с отдачей тепла (ветвь ), происходит изохорно, следовательно:

Воспользовавшись этими выражениями для и , и связью , получим:

Коэффициент полезного действия цикла Дизеля равен

.

Пользуясь уравнением адиабат и изобар, можно привести это выражение к следующему виду:

Т.о., КПД цикла Дизеля определяется показателем адиабаты газа и характером двух сжатий. Отношение называется степенью адиабатического сжатия, – степенью предварительного расширения.

Ответ:

Или .

Дано:

СИ:

Решение:

В цикле Отто газовых и карбюраторных четырехтактных двигателей внутреннего сгорания сжимается рабочая смесь, приготовленная вне цилиндров (газ-воздух или пары легкого топлива-воздух):

: всасывание рабочей смеси, которое можно считать изобарным;

: адиабатическое сжатие рабочей

смеси, в конце сжатия происходит зажигание горючей смеси от электрической искры;

: быстрое возрастание температуры и давления продуктов сгорания (практически при постоянном объеме);

: адиабатное расширение продуктов сгорания (рабочий ход поршня);

: в конце расширения открывается выпускной клапан, происходит падение давления в цилиндре при постоянном объеме;

: выталкивание поршнем продуктов сгорания.

Подсчитаем полную работу, совершаемую в цикле. Работы, совершаемые при первом и последнем тактах ( и ), равны друг другу и противоположны по знаку, что непосредственно вытекает из того, что оба эти такта изображаются одной и той же прямой, проходимой в противоположных направлениях. Работы в изохорных процессах и равны нулю. Таким образом, работа, совершаемая в цикле, складывается из работ на ветвях и .

При адиабатическом сжатии совершается работа

где – масса газа, находящегося в цилиндре, его молекулярный вес. При адиабатическом расширении совершается работа:

,

откуда полная работа

(1)

Учитывая уравнение Пуассона для адиабатного процесса

. (2)

Кроме того, .

Воспользовавшись этими соотношениями, перепишем (1) в виде:

.

Зная, что или , получим:

Определим КПД цикла.

Количество тепла выделяющееся при сгорании горючего в цилиндре (ветвь ), равно:

Тогда искомый КПД цикла:

.

Пользуясь соотношением (2), можно КПД цикла записать в виде:

.

Величина называется коэффициентом сжатия. Таким образом, КПД цикла определяется величиной и показателем политропы : .

Четырехтактные двигатели, работающие по указанному циклу, имеют весьма широкое применение; бензиновые автомобильные двигатели работают по этому циклу. Обычно на один вал работают несколько цилиндров (четыре и более). Рабочая фаза каждого цилиндра сдвинута относительно рабочей фазы следующего цилиндра на одну и ту же долю периода, чем достигается плавность хода.

Ответ:

или .

Дано:

СИ:

Решение:

Рис.2.

Работе этого двигателя можно сопоставить цикл Брайтона, изображенный на рис.1.

Поступающий и диффузор А воздух (рис.2) проходит из более узкой головной части в расширенную, благодаря чему скорость воздуха понижается. При этом в силу уравнения Бернулли давление воздуха

Рис.1.

повышается. Т.о., происходит сжатие воздуха, совершаемого в свободной струе перед двигателем за счет скоростного напора (динамическое сжатие) и в компрессоре (механическое сжатие). Этот процесс изображен на рис.1 адиабатой (точнее, политропой) .

В камере сгорания происходит нагревание рабочей смеси при постоянном давлении ( ), при этом смеси передается количество тепла ; температура смеси повышается от до , а ее объем возрастает от до .

В газовой турбине и реактивном сопле С происходит дальнейшее адиабатическое расширение , и рабочая смесь выбрасывается наружу с увеличенной скоростью, что ведет к появлению реактивной силы.

Практически цикл остается незамкнутым, но на схеме его можно замкнуть, полагая, что рабочее вещество вновь сжимается до объема при постоянном давлении (прямая ), при этом холодильнику отдается некоторое количество тепла . Холодильником в данном случае выступает внешняя среда.

Коэффициент полезного действия цикла:

.

Так как сгорание и охлаждение смеси происходит при постоянном давлении, то

,

,

откуда:

Из уравнений адиабат и имеем:

, ,

откуда

.

Пользуясь этим соотношением между температурами, преобразовываем выражение для КПД к следующему виду:

.

Таким образом, промежуточные температуры и не играют роли, и КПД определяется лишь значением температур и .

Отношение температур можно заменить отношением объемов и , воспользовавшись уравнением адиабаты :

,

откуда:

Последнее выражение показывает, что КПД воздушно-реактивного двигателя определяется лишь степенью сжатия или и показателем политропы .

Так как в воздушно-реактивных двигателях, построенных, но указанной схеме, сжатие невелико, то их КПД мал.

Ответ: или .

Дано:

СИ:

Решение:

Запишем выражение для КПД идеальной тепловой машины:

Фактический КПД равен:

,

где количество теплоты вычисляется через удельную теплоту сгорания дизельного топлива:

Следовательно:

Ответ: