7.4. Свойства степенных рядов

Члены степенного ряда, т.е. функции являются непрерывными и даже непрерывно дифференцируемыми функциями при любых значениях . Поэтому из теоремы о равномерной сходимости степенного ряда вытекают следующие его свойства.

1. Сумма степенного ряда

(7.7)

непрерывна в каждой внутренней точке интервала сходимости (здесь и далее предполагается, что интервал сходимости не вырождается в точку ). Если ряд (7.7) сходится в каком – либо из концов интервала сходимости , то его сумма будет непрерывной и в этом конце.

2. Степенной ряд (7.7) можно почленно дифференцировать во внутренних точках интервала сходимости, т.е. в них его сумма дифференцируема и выполняется равенство

(7.8)

причем производный ряд (7.8) имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (7.7).

3. Из предыдущего свойства вытекает: сумма степенного ряда (7.7) имеем производные всех порядков, причем

. (7.9)

4. Степенной ряд (7.7) можно интегрировать почленно в интервале сходимости

(7.10)

причем радиусы сходимости (7.10) и (7.7) совпадает.

Пример. Используя свойства степенных рядов, найти сумму ряда

Решение. Обозначим сумму ряда через и применим утверждение, выраженное свойством 2. Получаем

при

Отсюда имеем

Пример. Применяя почленное интегрирование вычислить сумму ряда

Решение. Обозначая искомую сумму ряда через , имеем

Интегрируя почленно, получим

где

Таким образом, . Далее интегрируем почленно ряд для

.

Последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем . Таким образом, имеем

Следовательно,

7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами

В данном пункте помещен справочный материал, который не входит в обязательную программу изучения степенных рядов в техническом вузе. Однако для аспирантов и инженеров – исследователей приведенные здесь формулы могут оказаться весьма полезными. Некоторые из этих формул либо вообще отсутствуют в учебной литературе, либо приведены в непригодной для использования форме. Мы приводим также обобщения некоторых известных формул

1. Сложение, вычитание и умножение степенных рядов.

Пусть два степенных ряда

сходятся к суммам , и - радиусы сходимости этих рядов. Тогда сходятся ряды

где

(7.11)

при . Последняя сумма в выражении для коэффициента берется по возможным целым неотрицательным решениям уравнения при заданном индексе .

В случае произведения рядов можно получить по индукции выражение

(7.12)

где внутренняя сумма в правой части берется по целым неотрицательным решениям уравнения , а радиус сходимости ряда в правой части равенства .Сумма же ряда, равного произведению рядов, будет равна произведению сумм:

2. Деление степенных рядов.

Если , и , то при достаточно малых значениях справедливо следующее разложение в степенной ряд частного:

коэффициенты которого можно найти по рекуррентным формулам, полученным в результате умножения степенных рядов

Используя формулы (7.10) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях равенства, получим

(7.13)

Из формул (7.13) видно, что коэффициенты последовательно находятся из цепочки уравнений при условии .

3. Обратный элемент для сходящегося степенного ряда.

На основе приведенных результатов по делению степенных рядов можно ввести обратный ряд для ряда . По определению, ряд называется обратным для ряда , если

Справедливо утверждение: если радиус сходимости ряда отличен от нуля, то обратный ряд имеет не равный нулю радиус сходимости.

Из формул (7.13) как частный случай получаются уравнения для определения коэффициентов ряда . Выполняя умножение, имеем

.

Отсюда, используя формулы (7.13), получаем

(7.14)

где символ Кронекера при , при . Из рекуррентной системы (7.14) последовательно находятся коэффициенты ряда :

4. Подстановка ряда в ряд.

Пусть функция в промежутке является суммой степенного ряда , а функция является суммой степенного ряда в промежутке

(7.15)

Справедливо утверждение: при условии , сложная функция в окрестности точки является суммой степенного ряда, полученного подстановкой в (7.15) вместо ряда , возведения в соответствующие степени и объединения затем подобных членов.

Используя частный случай формулы (7.12) при , получим выражения для композиции рядов и

, (7.16)

где последняя сумма в правой части равенства (7.16) берется по целым неотрицательным решениям уравнения .

В развернутом виде формула (7.16) выглядит так

.

5. Обращение степенного ряда.

Пусть необходимо найти из уравнения , где функция задана в виде степенного ряда

. (7.17)

Обратную функцию для функции обозначим . Поскольку функция задана не в замкнутом виде, а в виде ряда, то и обратную функцию возможно построить лишь в виде ряда

. (7.18)

Так мы приходим к задаче об обращении степенных рядов.

Справедливо утверждение. Пусть степенной ряд, такой, что , . - ряд обратный ряду относительно композиции, т.е. степенной ряд, такой, что и . Если радиус сходимости отличен от нуля, то это же справедливо для ряда .

Получим соотношение, связывающие искомые коэффициенты с заданными величинами . Подставим из (7.18) в ряд (7.17) и воспользуемся (7.16). Получим

Изменив порядок суммирования в двух первых суммах, запишем окончательно

. (7.19)

Приравнивая в (7.19) коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях равенства, получим рекуррентную систему уравнений, определяющую коэффициенты ряда (7.18):

(7.20)

…………………………………………………………………

.

Отсюда последовательно находятся коэффициенты :

Пример. Зная разложение в ряд функции , найти разложение в ряд функции .

Решение. Считаем известным разложение в степенной ряд функции

.

Ищем разложение обратной функции в виде

Записанный ряд содержит только нечетные степени , т.к. функция нечетная и потому обратная к ней функция также нечетная.

Из формулы (7.19) имеем:

Получаем .