1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4

1.1. Исторические замечания ……………………………………4

1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве……………………………………………………......5

1.3. Тригонометрические ряды Фурье….. ………………..........10

1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье…………14

1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье.....15

1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье……………………………………………………………....16

2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19

2.1. Понятие преобразования Лапласа. Свойства преобразования Лапласа…………………………………….......19

2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом ……………………………………...……….……...........30

2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38

2.4. Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ……………………………………..………......45

2.5. Индивидуальные задания ………....…..….…………….....52

3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76

3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики…………......76

3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля ………………………………81

3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля ………….......……...…………….......86

3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле …..……...…………….......………….……...…......................90

3.5. Уравнение колебаний струны .....………….……...…......97

4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107

4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности......107

4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне……………….……......………….......………...……......114

4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера.………...119

4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера ….……...…………….......………….…….124

4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье …………….……...…………….......………….……...…………..127

5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133

5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона……………….………………….......………….……...133

5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат…..………………………..138

5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда.......………….……...........................…………146

5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах .......………….……...…………151

5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона......………….…….........................................…………155

5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре…..163

5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе.…….........................................……………………….167

5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход……………………………………………………………172