4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши

4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности

Для решения краевых задач математической физики широко применяется преобразование Фурье. Причина этого заключается в том, что образ Фурье искомой функции часто удовлетворяет более простому уравнению, чем сама искомая функция. При решении краевых задач математической физики преобразование Фурье используется по следующей схеме:

1. Подвергают преобразованию Фурье обе части уравнения, которому удовлетворяет искомая функция; отсюда получают уравнение для ее Фурье-образа;

2. Из этого уравнения находят образ Фурье искомого решения первоначального уравнения;

3. Используя обратное преобразование Фурье находят искомую функцию.

Рассмотрим распределение температуры в неограниченном в обе стороны прямолинейном стержне в произвольный момент времени , если ее распределение в начальный момент времени известно. Стержень считаем теплопроводным от окружающей среды по боковой поверхности и его сечение считаем настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент времени можно приписать одну и ту же температуру.

Задача заключается в нахождении решения уравнения теплопроводности в бесконечной области по известному начальному условию:

, , , (4.1)

, , (4.2)

где – заданная функция, абсолютно интегрируемая на оси .

Решаем эту задачу, применяя преобразование Фурье по переменной x. Обозначим через образ Фурье функции

. (4.3)

Умножим обе части уравнения (4.1) на и проинтегрируем по от до , предполагая, что функция и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю при . Интегрируя левую часть, получим

.(4.4)

Для преобразования правой части уравнения используем интегрирование по частям:

(4.5)

При получении (4.5) учли, что неинтегральные члены обращаются в нуль, в силу ограниченности функции и предполагаемого поведения функции :

.

Приравнивая (4.4) и (4.5) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для образа Фурье искомой функции

. (4.6)

Начальное условие для функции получим из начального условия (4.2), выполнив преобразование Фурье

,

(4.7)

.

Разделяя переменные в уравнении (4.6), получаем

, .

Отсюда

. (4.8)

Определим постоянную С с помощью начального условия (4.7)

.

Подставив это значение С в равенство (4.8), получим для Фурье-образа искомой функции следующее выражение

. (4.9)

Теперь осталось перейти к третьему этапу решения задачи найти саму функцию по найденному ее образу Фурье (4.9). Для этого применим к равенству (4.9) обратное преобразование Фурье, подставив вместо его явное выражение из (4.7). Умножив (4.9) на и интегрируем по, получаем

.(4.10)

Подставим в правую часть выражение для экспоненты с мнимым аргументом по формуле Эйлера

.

Учитывая, что

,

если - четная функция, а также равенство ,

если - нечетная функция, имеем

, .

Последний интеграл является известной и часто встречающейся в теории теплопроводности и теории диффузии функцией. Воспользуемся [7] формулой 861.20, получим

.

Подставив эти результаты в выражении (4.10), получим решение уравнения (4.1) при начальном условии (4.2)

. (4.11)

Полученную формулу называют формулой Пуассона. Функция аргументов и

(4.12)

называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности (4.1). Она удовлетворяет уравнению теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности с начальным условием в виде (4.11) является сверткой фундаментального решения с начальной функцией.

Рассмотрим физический смысл фундаментального решения уравнения теплопроводности. Выделим малый элемент стержня вблизи точки и зададим начальное распределение температуры в виде

Физически это означает, что в начальный момент времени этому элементу стержня передали количества тепла ( - линейная плотность материала, -удельная теплоемкость), которое привело к повышению температуры на этом элементе на величину . В последующие моменты времени распределение температуры в стержне определяется формулой (4.11), которая в данном случае принимает вид

Если распределять то же самое количество тепла Q на все меньшем участке , то в пределе в точке стержню сообщается количества тепла Q. Это означает, что в точке стержня в момент действует мгновенный точечный источник тепла напряжения Q. От действия такого мгновенного точечного источника тепла в стержне получается распределение температур

,

(4.13)

где применим теорему о среднем для определенного интеграла

, .

Предел последнего выражения при , а значит , и приводим к выражению (4.13).

Таким образом, фундаментальное решение (4.12) дает распределение температуры, которое вызывается мгновенным точечным источником тепла напряжения , помещенным в начальный момент времени в точке стержня.

В соответствии с этим можно дать физическое толкование и решению (4.11). Для того, чтобы придать сечению стержня температуру в начальный момент времени, мы должны на малом элементе около этой точки распределить количество тепла , т. е. поместить в точке мгновенный точечный источник тепла напряжения . Распределение температуры, вызываемое этим мгновенным точечным источником будет равно

.

Общее действие от начальной температуры во всех точках стержня складывается от этих элементов, что и приводит к формуле (4.11).