
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
Разделяем переменные в уравнении (5.93), полагая
. (5.95)
Подставим (5.95) в уравнение (5.93), разделим
обе части полученного уравнения на
получим
,
где - постоянная разделения. Приравнивая левую и правую части полученного соотношения введенной постоянной, имеем два дифференциальных уравнения для угловой и радиальной частей:
, (5.96)
(5.97)
Общее решение уравнения (5.96) при
(т.е. при действительном
)
имеет вид
,
где
,
– произвольные постоянные. Для
однозначности этого решения требуется,
чтобы
было целым числом
.
Поэтому
,
(5.98)
где произвольные постоянные переобозначены,
поскольку, вообще говоря, они зависят
от
.
Преобразуем уравнение (5.97) для радиальной
функции, введя вместо
новое независимое переменное
.
Учитывая формулы дифференцирования
,
уравнение (5.97) запишется в виде
.
(5.99)
Уравнение (5.99) является уравнением Бесселя, общим решением которого является суперпозиция цилиндрических функций - го порядка первого и второго рода
где
,
-
функция Бесселя,
- функция Вебера.
Как известно, функция
при
принимает бесконечное значение. Так
как при
электромагнитное поле в волноводе
должно быть конечным, необходимо
потребовать
.
Функция
конечна при любом аргументе. Поэтому
.
(5.100)
Таким образом, решением уравнения (5.93) является функция
.
(5.101)
Для того чтобы функция (5.101) удовлетворяла
условию на границе (5.94), положим
.
Отсюда имеем
(5.102)
т.е.
-
нули функции Бесселя порядка
.
Известно, что функции Бесселя для любого
n имеют бесконечное число
корней. Обозначим их
(
Тогда
из условия (5.102) получаем
.
(5.103)
Таким образом
(5.104)
Используя (5.104), а также (3.13) и (3.17) п. 3.3 можно получить решение задачи.
Из выражения для
в формуле (5.100) и формулы (5.103) следует,
что частота волны
,
распространяющейся в волноводе и ее
волновой вектор
не могут быть произвольными, а связаны
зависимостью
.
5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
Описание состояния электрона в поле с
центральной симметрией имеет практический
интерес для теории спектра атомов с
одним валентным электроном, в том числе,
для теории спектра атома водорода.
Теория, основанная на уравнении Шредингера
в общих чертах, дает верную картину
спектров таких атомов. Волновое уравнение
Шредингера, как известно из физики, для
заряженной частицы в поле с потенциальной
энергией
имеет вид
(5.105)
где
-
мнимая единица,
Дж.с,
-
постоянная Планка,
-
волновая функция, описывающая состояние
частицы,
-
вероятность пребывания частицы внутри
объема
,
окружающего точку
,
в момент времени
,
-
оператор полной энергии частицы
(гамильтониан).
(5.106)
Здесь масса электрона
кг,
-
оператор Лапласа, а первый член в (5.106)
является оператором кинетической
энергии частицы.
Волновая функция удовлетворяет условию нормировки
Последнее условие означает, что вероятность частице находиться во всем пространстве равна единице.
Если силы, действующие на электрон в
атоме, не зависят от времени
,
то возможны стационарные состояния
электрона с определенной энергией
.
Разыскиваем решения уравнения Шредингера
(5.105) в виде
(5.107)
Подставив (5.107) в (5.105), учитывая выражение (5.106), разделив на экспоненциальный множитель, получим
.
(5.108)
Уравнение (5.108) называется стационарным
уравнением Шредингера. Если потенциальная
функция
является функцией только от
где
- расстояние до ядра, помещенного в
начало координат, то решение уравнения
(5.108) в сферической системе координат
можно получить в виде произведения
(5.109)
Это означает возможность разделения
переменных в уравнении (5.108). Для
кулоновского поля,
где
Кл, и уравнение (5.108) принимает вид
(5.110)
Перейдем к сферической системе координат, воспользовавшись выражением оператора Лапласа, приведенным в п. 5.1.
Обозначим угловую часть оператора Лапласа следующим образом
Подставим в уравнение (5.110) выражение
(5.109) и разделим обе части уравнения на
Имеем
где
-
постоянная разделения. Отсюда получаем
уравнение для
и
(5.111)
(5.112)
Для уравнения (5.111), как и для уравнения
Лапласа, разыскивая решения в виде
и повторяя аналогичные рассуждения,
получим решения (5.111) в виде
где функции
и
определяются формулами:
,
,
,
.
Радиальная часть
волновой функции электрона в кулоновском
поле существенно отличается от радиальной
части в уравнении Лапласа. Преобразуем
уравнение (5.112) переходя к безразмерной
функции
безразмерной радиальной координате
и безразмерной энергии
(
м.
– Боровский радиус,
- атомная единица энергии). В новых
переменных уравнение (5.112) принимает
вид
(5.113)
где индексы у букв
отброшены, штрих означает производную
по
.
Упражнение. Получить уравнение (5.113), выполнив указанную замену переменных.
Введем теперь вместо
новый параметр и вместо
новую независимую переменную
(5.114)
Поскольку электрон находится в
потенциальной яме, созданной полем
притяжения ядра атома, то
.
Поэтому
-
действительное число,
-
действительная переменная. Перейдем в
уравнении (5.113) к переменной (5.114).
Используя формулы для производных
,
получим
,
(5.115)
где штрихи обозначают дифференцирование
по
.
При
уравнение (5.115) принимает вид
,
решениями которого являются функции
.
Исчезающее при
решение содержит в показателе знак
минус.
Для преобразования уравнения (5.115) к удобному виду сделаем подстановку
.
(5.116)
В результате уравнение для новой
функции
становится уравнением гипергеометрического
типа
.
(5.117)
Решение этого уравнения, конечное при
,
есть вырожденная гипергеометрическая
функция
(5.118)
представляемая гипергеометрическим
рядом. При
решение должно возрастать не быстрее
конечной степени
для того, чтобы
было конечным в соответствии с формулой
(5.116). Следовательно, гипергеометрическая
функция (5.118) должна быть полиномом. Это
накладывает следующее условие
должно быть целым отрицательным числом
или числом, равным нулю. В этом случае
функция (5.118) сводится к полиному степени
(
).
Таким образом приходим к выводу, что
число
должно быть целым положительным, причем
при данном
должно быть
.
В квантовой механике число
называется главным квантовым числом.
Энергия электрона в атоме в соответствии
с формулой (5.114) дается выражением
,
которое называется формулой для
бальмеровых уровней энергии. При
переходе электрона из состояния
в состояние
,
атом излучает фотон с частотой
.
Таким образом движение электрона в
атоме водорода описывается волновой
функцией
Задачи для самостоятельного решения
Для решения нижеследующих задач в качестве пособий можно использовать книгу [1], гл. 18, книгу [2] и пособие для решения [3].
1. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге и в кольце ( - полярный угол)
2. Найти функцию , удовлетворяющую внутри круга уравнению Гельмгольца, а на границе заданному условию
3. Получить уравнение (4.117) из уравнения
(4.115), вводя новую неизвестную функцию
по формуле (4.116).
4. Показать, что в сферических координатах
разделение переменных в уравнении
Шредингера возможно, если потенциал
имеет вид
,
где
,
-
постоянная.