Задачи для самостоятельного решения

1. 8)

2. 9)

3. 10)

4. 11)

5. 12)

6) 13)

7) 14)

15) 16)

17)

18) Найдите целые числа х, при которых выполняется неравенство

19) Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству .

20)

21) 26)

22) 27)

23) 28)

24) 29)

25) 30)

1.8. Системы показательных и логарифмических уравнений и неравенств

_{Пример 1. Найти сумму x+y, где (x,y) − решение системы}

_О.Д.З.

С учетом О.Д.З. получаем

Пример 2. Найти среднее арифметическое значений x и y, которые являются решением системы

Найдем среднее арифметическое:

Пример 3. Решите систему неравенств:

Найдем О.Д.З.. Для этого решим неравенство

Решим первое неравенств системы. Используя замену , переходим к неравенству:

.

Переходим к обратной подстановке:

Решаем теперь второе неравенство. Так как основание логарифма больше единицы, получаем :

Ответом к системе неравенств будет пересечение полученных промежутков, то есть .

Исключая решения, не входящие в область допустимых значений, получаем промежуток

Пример 4. Решите систему неравенств:

Решим первое неравенство. Умножим обе части на и делаем замену В результате получаем неравенство:

.

Перейдем к обратной подстановке:

Решим теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется системой:

Воспользовавшись свойствами логарифмов, в области допустимых значений переходим к равносильному неравенству:

   

Данный промежуток целиком входит в область допустимых значений данного неравенства.

 Общее решение системы будет являться пересечением полученных промежутков, то есть

Пример 5. Решить систему уравнений: .

О.Д.З.: .

Переходя к логарифмам по основанию 3, получаем систему, равносильную исходной:

или

Так как уравнение равносильно совокупности двух систем, то и полученная система равносильна совокупности двух систем:

1) Так как х = -6 не входит в О.Д.З., то решение первой системы является только пара (1; 1).

2) Так как х = 3 не входит в О.Д.З., то решением является пара (2; 4).

Пример 6. Решить систему уравнений:

Множество допустимых значений х, y можно определить из условий

. Данная система в ОДЗ равносильна системе или . Полученная система в ОДЗ переменных х и y равносильна совокупности двух систем и .

Решая методом подстановки каждую из систем, получаем, что первая не имеет действительных корней, а решением второй системы является множество двух пар чисел

(2; -3) и (-6; 1).

Задачи для самостоятельного решения

1) Решить систему уравнений

2) Решить систему уравнений

3) Решить систему уравнений

4) Решить систему уравнений

5) Решить систему неравенств

6) Решить систему уравнений

7) Решить систему уравнений

8) Решить систему уравнений

9) Решить систему неравенств

10) Решить систему уравнений

11) Решить систему уравнений

12) Решить систему уравнений

13) Решить систему неравенств

14) Решить систему уравнений

15) Решить систему уравнений

17) Решить систему неравенств

18) Решить систему уравнений

19) Решить систему уравнений

20) Решить систему уравнений

21) Решить систему неравенств

22) Решить систему уравнений

23) Решить систему уравнений

24) Решить систему уравнений

25) Решить систему неравенств

26) Решить систему уравнений

27) Решить систему уравнений

28) Решить систему уравнений

29) Решить систему неравенств

30) Решить систему неравенств