6.14. Нахождение всевозможных кратчайших путей в графе

При использовании и отрицательных весов ребер в графе могут быть циклы отрицательной длины. Такие циклы не допускаются описы­ваемым ниже методом Флойда вычисления (за время О(n³)) расстоя­ний между всеми парами узлов: применяют другие, не столь быст­рые методы.

Ошибочно считают, что решение той же задачи алгоритмом Дейкстры имеет оценку О(n⁴) Мы убедимся в том, что модифицированный алгоритм, работающий по методу Деикстры, имеет оценку не хуже, чем у метода Флойда, а в разреженных графах - намного лучшую.

Метод Флойда непосредственно основывается на том факте, что в графе с положительными весами ребер или дуг всякий неэлементар­ный (содержащий более I ребра) кратчайший путь состоит из других кратчайших путей. В самом деле, если бы какая-либо составляющая не была кратчайшим путем, замена ее этим путем привела бы к умень­шению общей суммы длин, что противоречит исходной посылке.

Расстояние D_ij между узлами i, j - элемент матрицы D, другая матрица R нужна для запоминания полученных кратчайших путей. Вначале D_ij приравнивается весу ребра {i, j}, а если такого ребра нет 4 величиной заведомо большей, чем длина любого пути в графе (мы будем использовать значение Maxlnt). Затем узел m (m=l...n) проверяется как возможный промежуточный узел кратчайшего пути < i → j >: если сумма D_im + D_mj меньше D_ij, D_ij получает значений этой суммы и m запоминается как промежуточный узел. Если при другом значении m сумма будет еще меньше, запоминается эта сумма и это m, а старые - теряются. Узел m опробуется для всех пар (i, j). Обоснование метода приводится в [10], а очередность действий уточняет следующая весьма простая их запись:

For i:= 1 to n do {Матрица смежности А считается заданной}

Begin For j:= 1 to n do

Begin If A[i, j] = 0 {Нетребра (i, j)} Then D[i, j]:= Maxlnt ElseD[i, j]:= A[i,j]; R[i,j]:= 0;

End; D[i, i]:= 0

End (формирования исходных матриц D и R},

For m:= 1 to n do {3-кратный цикл нахождения кратчайших путей]

For i:= 1 to n do For j:= 1 to n do Begin g:= D[i,m] + D[m,j];

If D[i,j] > g Then Begin D[i,j]:= g; R[i,j]:= m End

End;

Сложностью формирования исходных матриц можно пренебречь, ибо очевидна большая сложность трехкратного цикла: О(n³).

Для предстоящего "честного соревнования" методов укажем на улучше­ние метода Флойда. В не-орграфах кратчайшие пути <i → j>, <j → i>, содержат одни и те же ребра и оценки их одинаковы, поэтому самый внутренний цикл трехкратного цикла записываем по-иному, почти, • вдвое сокращая время работы процессора типа Pentium:

For j:= i+1 to П do {ТОЛЬКОДЛЯ HE-ОРГРАФОВ!}

Begin g:= D[i,m] + D[m,j]; If D[ij] > g Then

Begin D[i,j]:= g; R[ij]:= m; D[j,i]:= g; R[j,i]:= m End

End;

Для вывода пути <i → j> применяем блок KPut с рекурсивной процедурой Put (блок ВЫПИСАТЬ ПУТЬ из [ 10) не рекомендуется): j

Procedure KPut(i,j:word);

Procedure Put(i,j:word); Begin If (R[i,j] = 0) And (i <> j) Then Write(' ', j)

Else Begin Put(i, R[i,j]); Put(R[i,j], j) End

End {рекурсивнойпроцедуры Put]

Begin Write(i); Put(i.j); Writeln

End;

Применяя n раз модифицированный метод Дейкстры для решения той же задачи, мы ожидаем, что сложность не будет хуже О(т • n • log n). Для полных (почти полных) графов улучшения не будет, но если, например, взять класс графов, в котором m линейно зависит от n, мы получим сложность О(n² • log n). Упрощая, считаем рамками, в которых изменяется сложность, О(n²) и О(n³).

Заметим, что в i-ю строку матрицы D заносятся расстояния от i-гo узла до всех прочих и это происходит при i-м запуске алгоритма Дейкстры (D-поиске от i-гo узла). Заполняя строку, можно получить и некоторые элементы следующих строк. Если, например, кратчай­ший путь <5 → 8> получен как список узлов 5, 4, 6, 11, 8, то мы имеем и кратчайшие пути <6 → 8>, <11 → 8>. Кроме того, в не орграфе получаем кратчайшие пути <8 → 6>, <8 →11> и <8 → 5>. Пути <4 → 8> и <8 → 4> были получены раньше, при форми­ровании 4-й строки матрицы D.

Итак, в момент i-гo запуска алгоритма уже имеется множество узлов с постоянными оценками, поэтому в программу добавлена часть, находящая непостоянные оценки всех смежных с ними узлов и форми­рующая сортдерево. В приложении 4 даны сравнительные характери­стики рассмотренных методов для орграфов и не-орграфов, показы­вающие, что данный вариант метода Дейкстры в 1,5 раза быстрее метода Флойда в классе графов большой полноты и в несколько раз быстрее в классе графов малой полноты. При этом учтена модифи­кация метода Флойда*. В этом же приложении даны соответствую­щие программы.

Заметим, что матрица R отлична от используемой в методе Флойда: i-я ее строка описывает D-каркас с корнем в i-м узле, используемый для вывода путей <i → любой узел > (см. блок KorPut в приложении 4).

Метод Флойда привлекает компактностью записи и применяется, например, при эпизодическом решении указанной задачи. Методы ее решения для общего случая и другие подходы см. в [10].

Задание 5.14.

Реализуйте метод Флойда в исходном и модифицированном варианте. Сравните производительность.