Задача №4 численное интегрирование

Задание. Вычислите приближенно интеграл при по формулам: 1) трапеций; 2) Симпсона.

Вычислите точное значение интеграла и сравните его с полученными приближенными значениями.

№1. . №2. .

№3. №4. .

№5. . №6. .

№7. . №8. .

№9. . №10. .

№11. . №12. .

№13. . №14. .

№15. . №16. .

№17. . №18. .

№19. . №20. .

Задача №5 численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача коши

Задание. С помощью метода Эйлера составьте таблицу приближенных значений решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию , на отрезке с шагом .

№1. .

№2. .

№3. .

№4. .

№5. .

№6. .

№7. .

№8. .

№9. .

№10. .

№11. .

№12. .

№13. .

№14. .

№15. .

№16. .

№17. .

№18. .

№19. .

№20.

Задача №6

Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Задание. Найдите численное решение линейной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка конечно-разностным методом, используя аппроксимацию производных второго порядка и шаг .

№1.

№2.

№3.

№4.

№5.

№6.

№7.

№8.

№9.

№10.

№11.

№12.

№13.

№14.

№15.

№16.

№17.

№18.

№19.

№20.

Примеры решения задач Задача №1

Задание. Дана таблица значений функции . Постройте для этой функции интерполяционный многочлен Ньютона и с помощью него найдите приближенное значение функции для заданного аргумента .

X	3.50	3.55	3.60	3.65	3.70
Y	33.115	34.813	36.598	38.475	40.447	3.57

Решение. Часто приходится рассматривать функции , заданные табличными значениями . Эти значения могут быть получены в результате расчета, эксперимента, опыта и т.д. Значения же функции в промежуточных точках неизвестны и их получение может быть связано с проведением сложных расчетов и экспериментов. В некоторых случаях даже при известной зависимости ее использование в практических расчетах затруднительно из-за ее громоздкости (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.).

В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации) функций: функцию , заданную таблично или аналитически, аппроксимировать функцией так, чтобы отклонение от в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей.

На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом

. (1)

При этом коэффициенты подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации или кусочно-полиномиальной аппроксимации.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и другие.

При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке ), аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строим многочлен (1), принимающий в заданных точках те же значения , что и функция , т.е.

, . (2)

При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т.е. при .

Точки называются узлами интерполяции, а многочлен - интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

Максимальная степень интерполяционного многочлена , где -число узлов, -степень многочлена. В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен

(3)

используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале аргумента . Коэффициенты многочлена (3) находятся из системы уравнений (2).

Построим теперь интерполяционный многочлен, единый для всего отрезка . Пусть для функции заданы значения функции для равноотстоящих значе-ний независимой переменной: , , где шаг интерполяции.

				…
				…

Прежде чем получить такие формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.

Составим разности значений заданной функции:

Эти разности называются конечными разностями первого порядка функции. Из них, в свою очередь, таким же образом можно получить конечных разностей второго порядка, или вторых разностей:

Аналогично определяются разности III и IV и т.д. порядков. Разность порядка определяется формулой:

,

где и .

В некоторых случаях требуется знать выражения конечных разностей непосредственно через значения функции. Для нескольких первых порядков разностей их можно получить непосредственной подстановкой

;

Аналогично для любого можно записать:

.

Такую же формулу можно записать и для значения разности в узле :

.

Для функции , заданной таблицей своих значений в узлах , конечные разности разных порядков удобно помещать в одну общую таблицу с узлами и значениями функции. Обычно используют горизонтальную таблицу или диагональную таблицу конечных разностей

Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции имеет вид

(4)

где .

Интерполяционную формулу (4) обычно используют для вычисления значений функции в левой половине отрезка. Дело в том, что разности вычисляются через значения функции , причем . Поэтому при больших значениях мы не можем вычислить разности высших порядков . Например, при в (4) можно учесть только , и .

Составим таблицу конечных разностей для заданных значений (таблица 1):

Таблица 1

3.50 3.55 3.60 3.65 3.70	33.115 34.813 36.598 38.475 40.447	1.698 1.785 1.877 1.972 ------	0.087 0.092 0.095 ------ ------	0.005 0.003 ------ ------ ------

При составлении таблицы конечных разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Поэтому в формуле Ньютона полагаем . Приняв , , будем иметь:

или

где

Подставим в выражение для вместо значение .

Получим

Тогда, Следовательно,