1.5. Многократная зонная перекристаллизация.

Рассмотрим перераспределение примеси между твердыми фазами и расплавленной зоной длиной l при смещении фронта кристаллизации на величину dx вдоль слитка сечением S в очередном процессе многократной зонной перекристаллизации (рис. 6). Пусть N₀^ТВ(x) – распределение концентрации примеси в перекристаллизуемом слитке. Для рассматриваемого прохода зоны он играет роль подпитывающей фазы; N^ТВ(x) – распределение примеси в слитке после очередного прохода зоны. При перемещении расплавленной зоны на dx (см. рис. 6):

1. из жидкой фазы в кристаллизующийся объем Sdx перейдёт N^ТВ(x)Sdx атомов примеси;

2. в расплавленную зону из перекристаллизуемого слитка поступит N₀^ТВ(x+l) Sdx атомов примеси;

3. изменение количества атомов примеси в расплавленной зоне будет равно

N^Ж = N^Ж(x+dx) Sl – N^Ж(x) Sl

(x)

(x+dx)

Рис. 6. К выводу дифференциального уравнения для распределения концентрации нелетучей примеси вдоль слитка, полученного многократной зонной перекристаллизацией

Согласно условию материального баланса, разность между количеством атомов, поступивших в расплавленную зону (жидкую фазу) и вышедших из неё, будет равно изменению количества атомов в расплавленной зоне

N₀^ТВ(x+l)Sdx – N^ТВ(x)Sdx = [N^Ж(x+dx) – N^Ж(x)]Sl (17)

Используя в правой части (17) определение равновесного коэффициента распределения K₀ = (N^ТВ/N^Ж)_Ф.КР., после сокращения на общий множитель S получим

[ (x+l) – N^ТВ(x)]dx = [N^ТВ(x+dx) – N^ТВ(x)], (18)

или

[ (x+l) – N^ТВ(x)] = (19)

В итоге приходим к дифференциальному уравнению относительно концентрации нелетучей примеси в кристалле, получаемой при очередном квазистатическом проходе расплавленной зоны. Для сокращения записи равновесный коэффициент К₀ обозначим здесь через К.

. (20)

Обсудим граничное условие для N^ТВ(x) при х = 0. Когда жидкая зона окажется в начале перекристаллизуемого слитка, концентрация примеси в расплаве будет равна

. (21)

Согласно определению (1) для равновесного коэффициента распределения, первые порции образующейся твердой фазы будут иметь концентрацию примеси

N^ТВ(0) = KN = (22)

В частном случае для n-го прохода зоны вдоль одного и того же слитка уравнения (20) и (22) примут вид

(23)

= (24)

Предельное теоретическое распределение примеси

в готовом слитке

После многократного прохода расплавленной зоны вдоль слитка в одном и том же направлении достигается предельное распределение примеси, которое не изменяется при последующих проходах зоны. Обозначим его N_∞^ТВ(x). В соответствии с (23) предельное теоретическое распределение будет удовлетворять уравнению

, (25)

решение которого имеет вид

N_∞^ТВ(x) = Ae^Bx , (26)

где А и В – некоторые постоянные величины, подлежащие определению. Подставляя (26) в (25) получаем трансцендентное уравнение для определения постоянной B

ABe^Bx + Ae^Bx = Ae^Bxe^Bl. (27)

После сокращения на общий, не равный нулю множитель Ae^Bx и некоторых простых преобразований, уравнение (27) упрощается и принимает вид

Bl = K(e^Bl – 1). (28)

Уравнение для определения постоянной А найдем из условия сохранения полного количества атомов нелетучей примеси в слитке в ходе многократной перекристаллизации

N = N . (29)

При этом будем для простоты полагать, что распределение (27) реализуется до конца готового слитка длинной L. Т.е. предлагается экспоненциальная аппроксимация для распределения концентрации примеси в области «схода» зоны с готового кристалла. Предполагая далее, что исходный слиток легирован однородно с концентрацией примеси N₀, согласно (29) получаем

N₀SL = S . (30)

Согласно (30) с учётом (26) будем иметь

N₀L = A e^BL – 1), (31)

откуда для определения постоянной А получаем формулу

A = . (32)

Как показывают численные оценки, теоретическое значение минимально достигаемой относительной концентрации примеси после многократной зонной перекристаллизации (N_∞^ТВ/N₀)_{MIN ТЕОР} составляет величину порядка 10^-32%. Реально получаемая в процессе многократной зонной перекристаллизации минимальная относительная концентрация примеси (N_∞^ТВ/N₀)_{MIN РЕАЛ} может достигать величины порядка 10^-12%.

В рассмотренных выше моделях зонной перекристаллизации не учтены многие факторы, свойственные реальным процессам. Важнейшими из них являются:

1. взаимодействие расплава с паровой фазой;

2. взаимодействие расплава с материалом контейнера;

3. конечная скорость кристаллизации и наличие эффективного коэффициента распределения примеси.