2 Электрические и магнитные свойства твердых тел

Электропроводность – способность тела пропускать электрический ток при воздействии внешнего электрического поля. Все твердые тела в той или иной степени способны проводить электрический ток благодаря присутствию в них свободных носителей заряда. Электропроводность твердого тела в общем случае характеризуется тензором удельных электропроводностей, являющимся тензором второго ранга [2].

В металлах хорошо выполняется закон Ома, устанавливающий линейную связь между плотностью тока, протекающего по металлическому образцу, и напряженностью внешнего электрического поля.

Если проводник (полупроводник) поместить во внешнее магнитное поле, то в проводнике (полупроводнике) возникают гальваномагнитные эффекты, например, эффект Холла, эффект магнитосопротивления и другие.

При изучении эффекта Холла совместно с измерениями проводимости металла (полупроводника) можно установить знак носителей заряда, объемные концентрации носителей и их подвижности.

Магнитные свойства твердого тела часто описываются с помощью магнитной восприимчивости, являющейся тензором второго ранга. В диа- и парамагнетиках магнитная восприимчивость практически не зависит от напряженности внешнего магнитного поля. В ферро- и антиферромагнетиках магнитная восприимчивость существенно зависит от напряженности внешнего магнитного поля и проявляет нелинейность в широком интервале напряженности поля.

З а д а ч а 2.1. Найти суммарный импульс электронов в прямолинейном металлическом проводнике длиной 1,0 км, если по проводнику течет ток 1 А [3].

Р е ш е н и е. Сила тока определяется по формуле

I = env_дS, (2.1)

где n – объемная концентрация свободных электронов, v_д – скорость дрейфа свободных электронов (считаем ее приблизительно одинаковой для всех частиц), S – площадь поперечного сечения проводника (рис. 2.1).

Рис. 2.1. К задаче 2.1

Число свободных электронов в данном проводнике равно

N_e = nSl, (2.2)

где l – длина проводника (рис. 2.1). Импульс одного электрона равен m_ev_д, а суммарный импульс р_Σ электронов, движущихся прямолинейно в одном и том же направлении, определяется с учетом соотношений (2.1) и (2.2) следующим образом: р_Σ = N_em_ev_д = I l m_e / e. Подставляя численные значения, получим р_Σ = 5,7·10^-9 кг·м / с.

О т в е т: р_Σ = 5,7·10^-9 кг ·м / с.

З а д а ч а 2.2. Собственный полупроводник Ge имеет при некоторой температуре удельное сопротивление ρ = 0,48 Ом·м. Вычислить объемную концентрацию носителей тока, если подвижности электронов и дырок составляют µ_n = 0,36 м² / (В·с), и µ_р = 0,16 м² / (В·с) соответственно [4].

Р е ш е н и е. Удельная электропроводность данного полупроводника равна

σ = e(nµ_n + pµ_р), (2.3)

где n и p – объемные концентрации электронов и дырок соответственно. В условиях термодинамического равновесия n = p, и эта величина является искомой. Известно, что ρ и σ связаны соотношением ρ = 1 / σ. Тогда из формулы (2.3) следует n = p = 1 / [ρe(µ_n + µ_р)]. Подставляя численные значения, имеем n = p = 2,5·10¹⁹ м^-3.

О т в е т: n = p = 2,5·10¹⁹ м^-3.

З а д а ч а 2.3 [5]. Вычислить отношение полного тока через полупроводник к току, обусловленному дырочной составляющей: а) в собственном германии; б) в германии p-типа с удельным сопротивлением 0,05 Ом·м. Принять собственную концентрацию носителей заряда при комнатной температуре n_i = 2,1·10¹⁹ м^-3, подвижность электронов µ_n = 0,39 м² / (В·с), подвижность дырок µ_р = 0,19 м² / (В·с).

Р е ш е н и е. а) Полный ток, протекающий через поперечное сечение полупроводника площадью S, с учетом формулы (2.3) определяется по формуле I = e(nµ_n + pµ_р)SE_эл, где n и p – объемные концентрации электронов и дырок соответственно, E_эл – напряженность внешнего электрического поля. Очевидно, дырочная составляющая этого тока I_р = epµ_рSE_эл. Для собственного полупроводника справедливо равенство концентраций n = p. Отсюда получаем отношение токов I / I_р = 1 + (µ_n /µ_р). После подстановки численных значений из условия задачи имеем I / I_р = 3,1.

б) Удельная электропроводность легированного полупроводника определяется как σ = σ_n + σ_p = e(nµ_n + pµ_р). Пренебрегая вкладом неосновных носителей в полупроводнике p-типа, получим σ ≈ epµ_р. Для удельного сопротивления имеем аналогичное соотношение ρ ≈ (epµ_р)^-1. Отсюда следует, что объемная концентрация основных носителей (т.е. дырок)

р ≈ (ρeµр)^-1. (2.4)

Объемная концентрация неосновных носителей (то есть электронов) n определяется на основе уравнения полупроводника

np = n_i². (2.5)

При этом отношение токов

I / I_р = (nµ_n + pµ_р) / (pµ_р) = 1 + [n_i²µ_n / (р²µ_р)]. (2.6)

Подставляя приближенное выражение (2.4) в формулу (2.6), получим отношение токов I / I_р ≈ 1 + [n_i²µ_nµ_р(ρe)²]. Численные оценки дают I / I_р ≈ 1,002.

О т в е т: а) I / I_р = 3,1; б) I / I_р ≈ 1,002.

З а д а ч а 2.4. Вычислить объемные концентрации электронов и дырок в Ge p-типа, если удельное сопротивлении этого полупроводника при комнатной температуре составляет 0,05 Ом^.м, собственная концентрация носителей заряда при комнатной температуре равна n_i = 2,1^.10¹⁹ м^-3, а подвижности электронов и дырок равны µ_n = 0,39 м² / (В^.с) и µ_р = 0,19 м² / (В^.с) соответственно.

Р е ш е н и е. В соответствии с формулой (2.3) удельное сопротивление данного полупроводника ρ = 1 / [e(nµ_n + pµ_р)], а объемные концентрации электронов n и дырок р связаны уравнением (2.5). С учетом этого уравнение относительно р представляется в виде p² – р / (epµ_р) + n_i²µ_n / µ_р = 0.

Подставляя численные значения из условия задачи, получим уравнение p² – 6,58^.10²⁰ p + 9,03^.10³⁸ = 0.

Это уравнение имеет следующие корни: р₁ = 6,57·10²⁰ м^-3; р₂ = 1,4·10¹⁸ м^-3. Корень р₂ (меньшее значение концентрации) не соответствует полупроводнику p-типа, и поэтому искомая объемная концентрация дырок р = р₁ = 6,57·10²⁰ м^-3. Из уравнения (7.5) определим объемную концентрацию электронов n = n_i² / p. Расчетное значение n = 6,72·10¹⁷ м^-3.

Сравнение расчетных значений n и p показывает, что p >> n, т.е. в полупроводнике p-типа объемная концентрация дырок значительно выше, чем электронов.

О т в е т: р = 6,57·10²⁰ м^-3; n = 6,72·10¹⁷ м^-3.

З а д а ч а 2.5. Пластина из полупроводникового Ge n-типа имеет удельное сопротивление ρ и толщину d. Напряжение, приложенное к торцам пластины, равно U. Cобственная концентрация носителей заряда n_i, подвижность электронов µ_n и подвижность дырок µ_р считаются известными. Определить

а) плотность тока j, протекающего через данный полупроводник;

б) время t_д, за которое основной носитель тока пересечет пластину;

в) отношение плотностей тока j_p / j_n, обусловленных дырками и электронами данного полупроводника.

Р е ш е н и е. а) Плотность тока j = I / S, где I – сила тока, протекающего между торцами пластины, S – площадь одной из торцевых граней пластины. По закону Ома I = U / R, где U – напряжение между торцами, R – сопротивление пластины (рис. 2.2) , которое нетрудно вычислить по формуле R = ρ d / S.

Рис. 2.2. К задаче 2.5

Отсюда следует, что плотность тока, протекающего через полупроводник, равна j = U / (ρ d).

б) Скорость дрейфа основных носителей (т.е. электронов для полупроводника n-типа) определяется по формуле v_n = µ_n E_эл, где E_эл – напряженность электрического поля между торцами пластины (рис. 2.2). Напряженность поля определим по формуле E_эл = U / d. Считая движение основных носителей равномерным, определим время дрейфа следующим образом: t_д = d / v_n = d² / (µ_n U).

в) Плотности тока электронов и дырок равны j_n = enµ_nE_эл и j_р = epµ_pE_эл соответственно. Отношение

j_p / j_n = pµ_p / (nµ_n) (2.7)

содержит неизвестные объемные концентрации электронов n и дырок p. Для дальнейшего преобразования формулы (2.7) воспользуемся соотношениями (2.3) и (2.5). Объемную концентрацию n найдем из уравнения

1 / ρ = е[nµ_n + (n_i² / n)µ_р], (2.8)

а объемную концентрацию р – из соотношения р = n_i² / n. При этом следует учесть, что по физическому смыслу корень уравнения (2.8) должен удовлетворять неравенству n > 0. Таким образом, формула (2.7) принимает вид j_p / j_n = n_i² µ_p / (n²µ_n).

О т в е т: а) j = U / (ρ d); б) t_д = d² / (µ_n U); в) j_p / j_n = n_i² µ_p / (n²µ_n), где n – положительный корень уравнения (2.8).

З а д а ч а 2.6 [6]. Прямоугольный образец полупроводника n-типа с линейными размерами а = 50 мм, b = 5 мм и h = 1 мм помещен в однородное магнитное поле, индукция которого B = 0,5 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости образца. Под действием напряжения U_a = 0,42 В, приложенного вдоль образца, по нему протекает ток I_a = 20 мА. Измерения показывают ЭДС Холла U_Н = 6,25 мВ. Найти удельную проводимость, подвижность и концентрацию носителей заряда для этого полупроводника, полагая, что электропроводность обусловлена носителями только одного знака.

Р е ш е н и е. Удельная проводимость равна σ = 1 / ρ, а удельное сопротивление ρ определяется из формулы сопротивления R = ρ a / S, где S = b h – площадь поперечного сечения, через которое течет ток. По закону Ома для участка цепи I_a = Ua / R. С учетом приведенных соотношений находим удельную проводимость σ = I_a a / (Ua b h). Подставляя численные значения, получим σ = 480 См / м.

Постоянная Холла по модулю равна |R_H | = U_a h / (I_a B). Зная |R_H|, нетрудно рассчитать объемную концентрацию носителей заряда (в данном случае электронов) n = 1 / (e |R_H |) и их подвижность µ_n = σ |R_H |. Проводя численные оценки, получаем n = 1,0^.10²² м^-3 и µ_n = 0,30 м² / (В.с).

О т в е т: σ = 480 См / м; n = 1,0^.10²² м^-3; µ_n = 0,3 м² / (В^.с).

З а д а ч а 2.7. Найти подвижность электронов проводимости в медном проводнике, если при изучении эффекта Холла в однородном магнитном поле с индукцией В напряженность поперечного электрического поля у данного проводника оказалась в η раз меньше напряженности продольного электрического поля.

Р е ш е н и е. Пусть E_x и E_y – напряженности продольного и поперечного электрического поля соответственно и η = E_x / E_y. Разделение зарядов в эффекте Холла будет происходить до тех пор, пока сила, действующая со стороны поперечного поля E_y, не скомпенсирует силу Лоренца, обусловленную движением зарядов в поле В. Условие этой компенсации описывается уравнением

–e v_x B = –e E_y. (2.9)

В слабом внешнем электрическом поле E_x скорость дрейфа заряженных частиц v_x из уравнения (2.9) определяется как v_x = µ E_x = µ η E_y. Подставляя это соотношение в (2.9), получим µ η B = 1. Отсюда следует, что искомая подвижность электронов проводимости µ = 1 / (η B).

О т в е т: µ = 1 / (η B).

З а д а ч а 2.8. Магнитная восприимчивость 1 моля парамагнитного Cr₂O₃ равна χ_{1 моль} = 5,8·10^-8 м³ / моль. Найти магнитный момент молекулы этого вещества при температуре 300 К.

Р е ш е н и е. В соответствии с теорией Ланжевена магнитная восприимчивость парамагнетика χ = µ₀ n₀ p_m² / (3 k_BT), где n₀ – объемная концентрация молекул вещества, p_m – магнитный момент одной молекулы, T – температура. Магнитная восприимчивость в расчете на 1 моль определим по формуле χ_{1 моль} = µ₀ N_A p_m² / (3 k_BT). Отсюда следует, что магнитный момент молекулы p_m = √ ((3 k_BT χ_{1 моль} ) / (µ₀ N_A )) . Подставляя численные значения, получаем p_m = 3,09.10^-23 А^.м².

О т в е т: p_m = 3,09^.10^-23 А^.м².

З а д а ч а 2.9 [5]. Найти минимальную энергию образования пары электрон – дырка в беспримесном полупроводнике, проводимость которого возрастает в η = 5,0 раз при увеличении температуры от T₁ = 300 К до T₂ = 400 К.

Р е ш е н и е. Минимальная энергия образования пары электрон – дырка равна ширине запрещенной зоны E_g данного полупроводника. Для беспримесного полупроводника справедлива температурная зависимость проводимости (удельной электропроводности)

σ(T) = σ₀ ехр [–E_g / (2k_BT)], (2.10)

где σ₀ = const, T – температура. В соответствии с формулой (2.10) при температуре T = T₁ проводимость полупроводника равна σ(T₁) = σ₀ ехр [–E_g / (2k_B T₁)], а при T = T₂ равна σ(T₂) = σ₀ ехр [–E_g / (2k_B T₂)]. По условию задачи σ(T₂) = η σ(T₁); следовательно, имеем следующее уравнение относительно E_g:

ехр [–E_g / (2k_B T₂)] = η ехр [–E_g / (2k_B T₁)]. (2.11)

Решением уравнения (2.11) является E_g = 2k_B T₁T₂ lnη / (T₂ – T₁). Подставляя численные значения из условия задачи, получаем E_g = 5,3^.10^–20 Дж.

О т в е т: E_g = 5,3·10^–20 Дж.

З а д а ч а 2.10 [3]. Определите ширину запрещенной зоны E_g беспримесного полупроводника, если красная граница фотоэффекта для этого полупроводника равна λ_к. Получите формулу для вычисления температурного коэффициента сопротивления α полупроводника, ширина запрещенной зоны которого равна Eg.

Р е ш е н и е. Квант света с длиной волны, равной λ_к, может сообщить электрону проводимости энергию, равную E_g (в этом случае электрон, находившийся у потолка валентной зоны, займет энергетический уровень на дне зоны проводимости). Тогда E_g = hν_к = hc / λ_к.

Температурный коэффициент сопротивления определяется по формуле

α = [1 / ρ(T)] dρ(T) / dT, (2.12)

где ρ(T) – температурная зависимость удельного сопротивления. Далее учтем, что удельная электропроводность равна σ(T) = 1 / ρ(T), а для беспримесного полупроводника справедлива температурная зависимость (2.10). С учетом формулы (2.10) удельное сопротивление определяется как ρ(T) = (1 / σ₀)ехр[E_g / (2 k_BT)]. Подставляя зависимость ρ(T) в формулу (2.12), получим температурный коэффициент сопротивления α = –E_g / (2 k_BT²). Отметим, что α < 0 во всем температурном интервале.

О т в е т: α = –E_g / (2 k_BT²).

З а д а ч а 2.11. Найти суммарную кинетическую энергию свободных электронов, движущихся упорядоченно в металлическом проводнике с удельным сопротивлением ρ. Проводник в форме цилиндра длиной l и с площадью поперечного сечения S подключен к источнику постоянного напряжения U, объемная концентрация свободных электронов в проводнике равна n.

З а д а ч а 2.12. По прямому медному проводу длиной l и с площадью поперечного сечения S течет постоянный ток I. Считая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, найти

а) время, за которое электрон переместился от одного конца провода к другому;

б) суммарную электрическую силу, действующую на все свободные электроны в данном проводе.

З а д а ч а 2.13. Полупроводниковый элемент в форме тонкой пластины шириной b и длиной L помещен в однородное магнитное поле, вектор индукции B которого перпендикулярен плоскости пластины. Определить напряжение U, приложенное к концам пластины вдоль длины, если известны холловское напряжение U_H, постоянная Холла R_H и удельное сопротивление ρ пластины.

З а д а ч а 2.14. При исследовании эффекта Холла в некотором металле напряженность поперечного электрического поля оказалась равной 5,0 мкВ / см при плотности тока 200 А / см² и индукции внешнего магнитного поля 1,00 Тл. Найти объемную концентрацию электронов проводимости и ее отношение к объемной концентрации атомов металла. Кристаллическая решетка данного металла является примитивной кубической.

З а д а ч а 2.15 [5]. При измерении эффекта Холла пластинку из полупроводника р-типа ширины h = 10 мм и длины l = 50 мм поместили в магнитное поле с индукцией B = 5,0 кГс. К концам пластинки приложили разность потенциалов U = 10 В. При этом холловская разность потенциалов U_H = 50 мВ и удельное сопротивление ρ = 2,5 Ом·см. Найти концентрацию дырок и их подвижность.

З а д а ч а 2.16. При некотором изменении температуры удельное сопротивление перового полупроводника изменилось в два раза, а удельная электропроводность второго полупроводника изменилась в четыре раза. Определить отношение ширин их запрещенных зон E_g1 / E_g2.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Связь между какими воздействием и откликом описывают электрические свойства твердого тела? Привести примеры.

2. Связь между какими воздействием и откликом описывают магнитные свойства твердого тела? Привести примеры.

3. Почему электропроводность присуща в той или иной степени всем твердым телам в природе?

4. Какова температурная зависимость удельной электропроводности металла? То же для полупроводника.

5. Какие свободные носители заряда существуют в металлах? А в полупроводниках?

6. Какие эффекты являются гальваномагнитными? Привести примеры.

7. В чем проявляется эффект Холла?

8. Как определить знак основных носителей заряда в полупроводнике, наблюдая эффект Холла?

9. Как определить ширину запрещенной зоны беспримесного полупроводника, зная температурную зависимость его удельной электропроводности?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шалимова К.В. Физика полупроводников / К.В. Шалимова. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 392 с.

2. Павлов П.В. Физика твердого тела: Учебник / П.В. Павлов, А.Ф. Хохлов. – М.: Высш. шк., 2000. – 494 с.

3. Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела: Учеб. пособие / Б.Е. Винтайкин. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 360 с.

4. Переломова И.В., Тагиева М.М. Задачник по кристаллофизике: Учеб. пособие / И.В. Переломова, М.М. Тагиева. – М.: Наука, 1982. – 288 с.

5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике: Учеб. пособие / И.Е. Иродов. – М.: ЗАО “Издательство БИНОМ”, 1998. – 448 с.

6. Антипов Б.Л. Материалы электронной техники: Учеб. пособие /Б.Л. Антипов, В.С. Сорокин, В.А. Терехов. – М.: Высш. школа, 1990. – 208 с.