1.3. Зависимость подвижности носителей заряда от температуры

Как следует из (1.23) и (1.27), для вычисления подвижности носителей заряда необходимо знать среднее время релаксации. Однако на время релаксации существенным образом влияет механизм рассеяния, поэтому при столкновении носителей заряда с различными по природе дефектами кристаллической решетки подвижность по - разному будет зависеть от температуры.

А. Рассеяния на колебаниях решетки

В атомных полупроводниках при рассеянии носителей заряда на акустических колебаниях решетки время релаксации ) равно:

(1.30)

На основании (1.21) найдем:

, (1.31)

(1.32)

Подвижность можно выразить через длину свободного пробега, тогда получаем:

(1.33)

Из (1.32) следует, что в атомных полупроводниках подвижность носителей заряда при рассеянии их на тепловых колебаниях решетки уменьшается с ростом температуры. Кроме того, подвижность обратно пропорциональна эффективной массе носителей заряда в степени 5/2. Поскольку , то подвижность электронов больше подвижности дырок, а у полупроводников с малой эффективной массой носителей заряда подвижность очень большая (таблица).

Экспериментальные данные по подвижности электронов и дырок некоторых полупроводников

Полупроводник	Подвижность электронов, см2/(В·с)		Подвижность дырок, см2/(В·с)		Показатель степени температурной зависимости решеточной подвижности р
	300 К	77 К	300 К	77 К	Электроны	Дырки	300 К	77 К
Ge	3900	37100	1900	43700	1,66	2,33	2	0,8
Si	1500	45500	600	11600	2,5	2,7	2,5	3,9
InSb	78000	1200000	750	10000	1,6	2,1	100	120
InAs	33000	820000	460	690	1,2	2,3	70	120
InP	4600	24000	150	1200	2,0	2,4	30	20
GaSb	4000	6000	1400	3600	2,0	0,9	3	1,7
GaAs	8500	21000	420	4200	1,0	2,1	20	5
GaP	110	500	75	420	1,5	1,5	1,5	1,2
AlSb	200	–	420	–	–	1,8	0,2	–

Б. Рассеяние на ионизованных примесях

При рассеянии на ионах примеси время релаксации в зависимости от энергии записывается в виде

(1.34)

При усреднении этого выражения логарифмический член, являющийся медленно меняющейся функцией, можно вынести за знак интеграла, если в этот член подставить такое значение энергии, при котором остальная часть подынтегрального выражения достигает максимума. Для этого необходимо положить Е = 3kT. Поэтому среднее время релаксации носителей заряда при рассеянии на ионах примеси будет равно:

(1.35)

а подвижность при рассеянии ионами примеси запишется в виде

(1.36)

При достаточно больших температурах можно считать, что

(1.37)

Из формулы (1.37) следует, что подвижность носителей заряда, обусловленная рассеянием на ионах примеси, уменьшается при уменьшении температуры. Это происходит потому, что с увеличением температуры кристалла возрастает тепловая скорость носителей заряда, а это приводит к ослаблению взаимодействия носителей заряда с ионизованными атомами примеси, так как уменьшается длительность взаимодействия. Кроме того, при данной температуре подвижность уменьшается с увеличением концентрации примеси, которая усиливает эффект рассеяния. Это согласуется с экспериментальными данными. В качестве примера на рис. 1.1 представлена зависимость подвижности электронов и дырок от температуры в образцах кремния, имеющих разную концентрацию примесей.

Рис. 1.1. Зависимость дрейфовой подвижности электронов (а) и дырок (б) от температуры в образцах кремния, имеющих разную концентрацию примеси (см^-3)

В. Рассеяние на нейтральных примесях

При рассеянии носителей заряда на нейтральной примеси время релаксации не зависит от температуры и энергии носителя заряда. В силу этого подвижность носителей заряда, обусловленная рассеянием на нейтральных атомах примеси, в явном виде не зависит от температуры и будет равна

(1.38)

Г. Рассеяние на дислокациях

При рассеянии носителей заряда на дислокациях подвижность

(1.39)

Д. Сложный механизм рассеяния

В реальных полупроводниках строгая периодичность поля решетки нарушена в результате наличия в ней разных дефектов. В силу этого механизм рассеяния носит сложный характер. Если считать, что все механизмы рассеяния независимы, то полная вероятность рассеяния равна сумме вероятностей рассеяния на каждом типе рассеивающих центров, то есть

(1.40)

В этом случае полное время релаксации τ будет равно:

(1.41)

или

(1.42)

Естественно, что вклад различных механизмов рассеяния в суммарное время релаксации зависит от температуры кристалла. По мере изменения энергии носителей заряда роль одних механизмов рассеяния уменьшается, а роль других возрастает, поэтому характер движения носителей заряда под воздействием внешнего электрического поля зависит от того, какой из механизмов рассеяния является доминирующим в данном интервале температур. При очень низких температурах в выражении (1.42) можно учитывать только рассеяние на атомах примеси и дислокациях. С повышением температуры роль этих механизмов уменьшается по сравнению с рассеянием на ионах примеси. При высоких температурах доминирующим становится рассеяние на фононах. Поэтому можно считать, что комбинированная подвижность определяется рассеянием на ионах примеси и на фононах и согласно (1.42) равна , а в зависимости от температуры с учетом (1.32) и (1.36) будет определяться соотношением вида

(1.43)

где а и b – постоянные величины.

Как следует из формулы (1.43), в атомных полупроводниках с ростом температуры подвижность носителей заряда растет пропорционально T^3/2, если рассеяние происходит только на ионах примеси, затем она проходит через максимум и уменьшается пропорционально Т^-3/2, если рассеивающими центрами являются только длинноволновые акустические фононы.

Как показывает эксперимент, у полупроводников действительно наблюдается такой ход зависимости подвижности от температуры. В качестве примера на рис. 1.2 представлены температурные зависимости подвижностей электронов и дырок в антимониде индия.

1 – n = 2·10¹⁴ см^-3; 2 – n = 10¹⁵ см^-3; 3 – n = 10¹⁶ см^-3; 4 – p = 3·10¹⁴ см^-3; 5 – p = 4·10¹⁵ см^-3; 6 – p = 3·10¹⁶ см^-3; 7 – теоретические значения подвижности электронов

Рис. 1.2. Температурные зависимости подвижности электронов и дырок в антимониде индия

Но, как следует из данных таблицы, у большинства полупроводников температурная зависимость подвижности при рассеянии на тепловых колебаниях решетки не соответствует теоретическому значению показателя степени 3/2. Это объясняется тем, что в реальных полупроводниках имеют место и другие механизмы рассеяния, такие как рассеяние на оптических колебаниях, двухфононное рассеяние, рассеяние на носителях заряда.

Е. Температурная зависимость удельной проводимости

Учитывая зависимость подвижности и концентрации носителей заряда от температуры, удельную проводимость собственного полупроводника можно записать в виде

(1.44)

Множитель T^3/2+p медленно меняется с температурой, тогда как множитель е ^–Eg/kT сильно зависит от температуры, если E_g > kT. Поэтому для не слишком высоких температур можно считать, что

(1.45)

и выражение (1.44) можно заменить более простым

(1.46)

В примесном полупроводнике, как следует из рис. 1.3, б, при достаточно высоких температурах электропроводность полупроводника является собственной. При низких температурах в области истощения примеси концентрация основных носителей заряда остается постоянной (рис. 1.3, а) и электропроводность меняется вследствие изменения подвижности носителей заряда с температурой.

Рис. 1.3. Зависимость концентрации носителей заряда (а) и удельной проводимости (б) от обратной температуры для образца кремния с концентрацией донорных примесей около 10¹⁵ см^-3