1.4. Эффект Холла

Кинетические эффекты, имеющие место при одновременном воздействии на проводник электрического и магнитного полей, называют гальваномагнитными. Эффект Холла является одним из гальваномагнитных эффектов. Рассмотрение эффекта Холла проведем для слабого магнитного поля. Под слабым магнитным полем понимают такое поле, для которого период обращения Т_с по круговой орбите в магнитном поле много больше времени релаксации τ:

τ << T_c. (1.47)

Но частота обращения носителя заряда с эффективной массой m* по круговой орбите в магнитном поле с индукцией В, то есть частота ω_с циклотронного резонанса равна:

(1.48)

поэтому в слабых полях

(1.49)

а в сильных полях

(1.50)

Таким образом, условие слабого и сильного магнитного полей определяется не только индукцией магнитного поля В, но и подвижностью носителей заряда μ.

Если воспользоваться длиной свободного пробега l = vτ и радиусом циклотронной орбиты r = v/ω_с, по которой движется носитель заряда, то

(1.51)

Как видно, в слабом магнитном поле, поскольку r >> l, носитель заряда, движущийся по круговому пути в плоскости, перпендикулярной В, успевает пройти до столкновения малое расстояние по круговой орбите, а в сильном магнитном поле, для которого r << l, траектория носителя заряда искривляется очень сильно.

Допустим, что по полупроводнику, имеющему форму прямоугольной пластинки (рис. 1.4), под действием электрического поля ε протекает ток с плотностью

(1.52)

Если полупроводник однородный, то эквипотенциальные поверхности расположены перпендикулярно направлению электрического поля ε, а следовательно, и вектору плотности тока J. Поэтому разность потенциалов между точками А и Б на рис. 1.4, лежащими в плоскости, перпендикулярной J, будет равна нулю.

Теперь поместим полупроводник в магнитное поле, перпендикулярное вектору тока, как это показано на рис. 1.4. В этом случае на носитель заряда, движущийся с дрейфовой скоростью v, будет действовать сила Лоренца

(1.53)

направленная перпендикулярно v и В. Здесь плюс соответствует дырке, а минус — электрону.

Рис. 1.4. Образец для измерения эффекта Холла

Но

v = ± (<e> / m*) ε (1.54)

поэтому

(1.55)

Из (1.55) следует, что направление силы Лоренца не зависит от знака носителя заряда, а определяется направлением векторов ε и В или J и В. Следовательно, если скорость носителей заряда определяется внешним электрическим полем, то электроны и дырки под действием силы Лоренца отклоняются в одну и ту же сторону.

Для выбранных направлений В и ε, представленных на рис. 1.5, сила Лоренца F направлена вверх. Под действием этой силы дырки в акцепторном полупроводнике (рис. 1.5 а) и электроны в донорном полупроводнике (рис. 1.5 б) будут оттеснены к верхней поверхности образца, вследствие чего на нижней поверхности образца возникнет их дефицит, что обусловит противоположный по знаку заряд по отношению к заряду на верхней поверхности. В результате разделения зарядов появится электрическое поле напряженностью ε_Н, перпендикулярное направлению магнитного поля. Направление этого поля, которое называют полем Xолла, зависит от знака носителей заряда. В нашем случае поле Холла ε_Н направлено вниз в р - образце и вверх в n - образце. Явление возникновения в полупроводнике с текущим по нему током поперечного электрического поля под действием магнитного поля называют эффектом Холла. Напряженность поля εН будет расти до тех пор, пока сила, обусловленная этим полем, не скомпенсирует силу Лоренца:

(1.56)

При этом условии носители заряда движутся вдоль образца под действием только продольного электрического поля ε, а следовательно, плотность тока J по направлению совпадает с напряженностью ε. Вектор напряженности суммарного электрического Поля ε΄ = ε + εН, как следует из рис. 1.6, повернут на некоторый угол φ относительно направления тока J. Угол, заключенный между J и ε΄, носит название угла Холла. Теперь эквипотенциальные поверхности будут повернуты на угол φ относительно первоначального положения, поэтому на образце между точками А и Б (рис. 1.4) появится разность потенциалов, называемая ЭДС Холла. Если ширина образца b, то холловская разность потенциалов

V_H = ε_Hb = -vBb . (1.57)

Если воспользоваться (1.52), будем иметь:

(1.58)

Величину R в (1.58) принято называть коэффициентом (или постоянной) Холла, который в случае электронов равен:

(1.59)

Если носителями заряда являются дырки, концентрация которых равна р, то, как следует из рисунка 1.5 а, eεH = evB, поэтому

(1.60)

Рис. 1.5. Отклонение носителей заряда под действием магнитного поля в образцах с дырочной (а) и электронной (б) электропроводностью

Рис. 1.6. Угол Холла при дырочной (а) и электронной (б) электропроводности

Как следует из равенств (1.59) и (1.60), коэффициент Холла обратно пропорционален концентрации носителей заряда, а знак его совпадает со знаком носителей заряда. При таком рассмотрении эффекта Холла не принималось во внимание статистическое, распределение носителей заряда по энергиям и не учитывалась зависимость времени релаксации от энергии.

Угол Холла φ (рис. 1.6) можно определить из соотношения

(1.61)

причем знак tgφ определяется направлением поля Холла: положителен для дырочного полупроводника и отрицателен для электронного. Если магнитное поле слабое, то можно считать, что

(1.62)

откуда следует, что

(1.63)

Учитывая, что для электронного полупроводника

(1.64)

то угол Холла:

(1.65)

Аналогично для дырочного полупроводника

(1.66)