Уравнение Шредингера

Частица в потенциальной яме (повторное рассмотрение)

11

Частица в потенциальной яме со стенками конечной высоты

Предположение:

частица вне ямы - конечное значение U потенциальной энергии системы,

частица в яме – нулевое значение потенциальной энергии.

В яме общая энергия E системы «частица – яма» < U.

Классическая механика: постоянное нахождение частицы в яме.

Квантовая механика: существование конечной вероятности обнаружения частицы вне ямы, неравенство нулю волновой функции вне ямы.

Принцип неопределенности: неопределенное значение величины энергии системы.

Возможность нахождения частицы вне ямы до тех пор, пока любым возможным способом не будет обнаружено нарушение закона сохранения энергии.

12

Частица в потенциальной яме со стенками конечной высоты

Общее решение этого уравнения: AeCx Be Cx

13

Частица в потенциальной яме со стенками конечной высоты

Общее решение AeCx Be Cx - начальная

точка

для нахождения решений, соответствующих областям I, II и III.

Область I (x < 0): В = 0 во избежание бесконечного значения .I AeCx - убывание по экспоненте.

Область II (0 <x < L): U = 0 – разрешены синусоидальные волновые

функции (решения уравнения Шредингера).

II x F sin kx G cos kx, где F и G - постоянные.

Область III (x > L): А = 0 во избежание бесконечного значения. III Be Cx - убывание по экспоненте.

14

Частица в потенциальной яме со стенками конечной высоты

Волновые функции и плотности вероятности 2

Достаточность этих граничных условий и условия нормировки для нахождения четырех коэффициентов A, B, F и G, а также разрешенных значений энергии E.

15

Частица в потенциальной яме со стенками конечной высоты

Действие квантовой точки - маленькой области, выращенной на поверхности кристалла кремния, в качестве потенциальной ямы для электронов.

Захват электронов на квантованных энергетических уровнях в квантовой точке.

Хранение двоичной информации с помощью квантовых точек – направление активных исследований.

Простая схема сохранения двоичной информации:

«единица» - в квантовой точке находится электрон, «нуль» - квантовая точка пуста.

16

Прохождение частицы через потенциальный барьер

Потенциальный энергетический барьер – область, заключенная под кривой потенциальной энергии.

Квадратный барьер: постоянное значение потенциальной энергии U (высота барьера)

впределах барьера шириной L,

иравенство энергии нулю за пределами барьера.

Предположение: частица, обладающая энергией E < U,

приближается к барьеру конечной высоты и ширины слева.

Классическая механика: отражение частицы барьером.

Область II запрещена для частицы - кинетическая энергия частицы в ней

была бы отрицательной (E < U).

Квантовая механика:

доступность области II для частицы независимо от ее энергии.

17

Прохождение частицы через потенциальный барьер

Классическая физика:

невозможность прохождения частицы в запрещенную область III.

Квантовая механика принцип неопределенности - частица может находиться внутри барьера

в течение очень короткого временного интервала.

Относительно узкий барьер:

достаточность временного интервала для прохождения частицы через барьер.

18

Прохождение частицы через потенциальный барьер

Области I, II и III:

наличие имеющих физический смысл решений уравнения Шредингера. Области I и III: синусоидальный вид решений.

Область II: экспоненциальный вид решения. Представление полного решения красной кривой.

Область III: вероятность обнаружения частицы за барьером не равна нулю.

Прохождение частицы через барьер – туннелирование сквозь барьер или проникновение через барьер.

19

Прохождение частицы через потенциальный барьер

Описание вероятности туннелирования

с помощью коэффициентов прохождения T и отражения R.

T + R = 1

T << 1 (очень широкий или очень высокий барьер, т.е. U >> E):

Квантовая модель проникновения частицы сквозь барьер: неравенство коэффициента T нулю.

Экспериментальные наблюдения явления туннелирования частиц сквозь энергетические барьеры –

дополнительные доказательства справедливости законов квантовой физики.

20