Laboratornye_raboty_po_fome / 4 Движение микроцастиц в потенциальных полях / Методические указания - Исследование движения микрочастиц в потенциальных полях

Марголин В.И., Скобелев В.Н., Тупик В.А., Фантиков В.С. Исследование движения микрочастиц в потенциальных полях. Методические указания к выполнению лабораторной работы. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2012. 35 с.

Содержит методические указания к выполнению лабораторной работы «Исследование движения микрочастиц в потенциальных полях» по курсу «Физические основы микроэлектроники».

Утверждено редакционно-издательским советом университета

вкачестве методических указаний

СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2012

3

Введение

Знакомство с современной физикой, в отличие от физики классической, вызывает естественные трудности восприятия основных понятий и идей квантовой механики - этого совершенно нового способа описания состояния микрочастиц и динамических законов, управляющих их движением.

Законы квантовой механики составляют основную теоретическую базу в изучении строения вещества. Так, опираясь на них, удалось выяснить строение атомов, установить природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов, понять строение атомных ядер и свойства элементарных частиц.

Трудности при знакомстве с основами квантовой механики начинаются уже с описания основных характеристик самой микрочастицы, ее физического состояния, и, вообще, возможности задания ее начального и текущего состояния и контроля изменения этого состояния в процессе взаимодействия частицы с окружающими ее телами.

Даже сама возможность использования таких, казалось бы очевидных понятий, как пространственное положение микрочастицы, его изменение во времени, движение по траектории - для микрочастицы становится проблематичной. Более того, возникает существенное, неожиданное осложнение, связанное с взаимодействием микрочастицы с контролирующим ее движение измерительным прибором. Если в классической физике молчаливо предполагалось, что этим влиянием можно пренебречь, то в квантовой механике, как оказалось, воздействие прибора на микрообъект может радикально изменить его состояние.

Поэтому в теоретическую ткань квантовой механики органично вплетена взаимосвязь величин, характеризующих сами микрочастицы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми приборами.

4

Настоящая работа, позволит студенту более наглядно познакомиться с удивительными свойствами микрочастиц при их движении и взаимодействии

ссиловыми физическими полями в самых простых модельных ситуациях.

Впроцессе подготовки к выполнению работы и при ее непосредственном выполнении студенты приобретают необходимые первоначальные навыки и представления об основных понятиях и этапах решения типичной квантово-механической задачи.

На примере простейших барьерных задач в работе проводится компьютерное моделирование поведения микрочастицы в силовых полях с прямоугольным потенциалом (типа потенциальной ступени или барьера.)

С этой целью вначале студенту предлагается просмотреть демонстрационную программу, в которой моделируется поведение микрочастицы в зависимости от ее массы и энергии и от изменения силового поля, действующего на микрочастицу.

Можно наблюдать, как при варьировании энергии и массы закономерно меняются амплитуды отраженной и проходящей волн и, что особенно важно, наблюдать типичный квантово - механический эффект - эволюцию осциллирующих функций в экспоненциальные волновые, что соответствует некоторой глубине проникновения Xmax частицы в классически недоступную область.

Прочувствовав механизм возникновения туннельного эффекта, далее, в основной программе, студент уже самостоятельно на примере конкретного задания анализирует изменение состояния частицы, и ее движение в двух вариантах силовых полей (потенциальный скачок (ступенька) и потенциальный барьер).

Вконце работы студент должен графически проанализировать изменение коэффициентов отражения (R) и прохождения (Т), а для случая потенциального барьера, кроме того, провести графический анализ вероятности просачивания сквозь него (D1) в зависимости от ширины барьера - L, массы частицы - mas и энергии частицы (U0-E).

6

Далее рассмотрим два типичных случая движения микрочастицы в поле прямоугольного потенциала.

1.1.2 Потенциальный скачок

Низкий потенциальный скачок (см. Рисунок 1.1).

В этом случае энергия частицы больше высоты потенциального скачка (E>U).

Рисунок 1.1 - Решение уравнения Шредингера для случая высокой потенциальной ступеньки

(масса частицы mas=0.3; глубина проникновения Xmax=232; коэффициент отражения R=1; коэффициент прохождения T=0)

Для стационарного случая (независимости физической ситуации от времени) решение уравнения Шредингера

(4)

в соответствии с выражением (2) будет представлено для области слева от х=0 суммой падающей волны и отраженной:

(5)

Здесь в отсутствие силового поля в первой области (U=0) согласно (3)

7

В области справа от x=0 решение будет представлено амплитудой прошедшей волны:

где:

(6a)

Для того, чтобы задача имела конкретно завершенный вид и имела четкий физический смысл, необходимо в решениях (5-6) найти неопределенные коэффициенты А, В и С. Для нахождения этих коэффициентов используют аксиоматические свойства волновой функции

(x):

-непрерывность самой функции и ее производных;

-однозначность волновой функции;

-ее ограниченность.

Эта процедура называется "сшиванием” волновой функции на границе скачка потенциала.

Что для этого нужно сделать?

Во-первых, нужно приравнять значения волновых функций слева и справа от точки х=0

что дает:

Далее необходимо найти первые производные по х от и также приравнять их друг другу в точке х=0

что должно привести к выражению:

Р1(А-В)=Р2С (8) Система (7-8) легко приводит к решению для коэффициента С:

8

(9)

Физический смысл этого выражения достаточно понятен - оно выражает амплитуду прошедшей волны С через амплитуду падающей А. Соответственно, для коэффициента В будем иметь:

(10)

Здесь амплитуда отраженной волны В выражена через амплитуду падающей волны А.

Далее легко найти коэффициент отражения R на прямоугольном потенциале, как отношение интенсивностей отраженной и падающей волн или, соответственно, по статистическому смыслу волновой функции, как отношение квадратов амплитуд этих волн. Тогда из соотношения (10) будем иметь:

(11)

Из закона сохранения числа частиц легко получить коэффициент прозрачности потенциальной ступени, если понимать под ним долю потока частиц, прошедших вправо от границы:

(12)

Анализ решения

Как видно из соотношения (11), коэффициент отражения R уменьшается до нуля в том случае, если значения P1 и Р2 сближаются или, иными словами, если различие в свойствах сред слева и справа от границы раздела стирается (выравниваются потенциалы U1 и U2). Кроме того, коэффициент отражения R стремится к единице (полное отражение) в случае, когда Р2 стремится к нулю. Можно показать, что свойство отражаться от резких скачков потенциала (вспомним отражение света - потока фотонов в

9

оконном стекле) является чисто квантомеханическим, оно вытекает из волновых свойств материальных частиц.

При нерезком изменении потенциала с изменением расстояния (в сравнении с длиной волны де Бройля) классический эффект отражения также исчезает. Действительно, достаточно быстрые классические частицы, если их кинетическая энергия позволяет вкатиться на потенциальную "горку", все до единой должны пройти границу раздела областей высокого и низкого потенциала. Поэтому классический коэффициент прозрачности T всегда равен единице и, соответственно, никакого поворота в движении классических частиц в этом случае не должно наблюдаться. Стало быть и классический коэффициент отражения должен быть равен нулю (R=0).

Высокий потенциальный скачок (E<U).

В классическом случае закон сохранения энергии не позволяет ни одной классической частице оказаться в области, где бы ее потенциальная энергия стала больше первоначальной кинетической. Поэтому все они до одной должны отражаться на границе х=0.

Выясним, что нового вносит в этот вопрос учет волновых свойств микрочастиц.

Методика решения задачи в этом случае включает следующие этапы:

1)по-прежнему, область пространственной координаты разбивается на две части и в области до границы раздела, т.е. при х<0 уравнение Шредингера (4) остается таким же с U=0, поэтому такими же остаются и решения (5)

(13)

2)серьезным изменениям подвергается уравнение Шредингера для области высокого потенциала (х>0). Здесь (E-U)<0 и второе

10

слагаемое уравнения (4) меняет знак. Однако, если сделать следующую замену обозначений в выражении (6а);

(14)

С тем, чтобы сохранить и форму уравнения и его решение прежним, то после этой подстановки (14) в решение (5) получим окончательное решение в виде суммы теперь уже вещественных экспонент:

(15)

С тем, чтобы удовлетворить свойству конечности волновой функции на бесконечности, очевидно коэффициент С в решении (13) необходимо выбрать равным нулю:

С=0

1)для определения оставшихся произвольных постоянных А, В и D снова нужно использовать свойство непрерывности волновых функций, т. с. опять провести операцию «сшивания»:

После корректно проведенной операции можно получить выражения для амплитуд волны падающей А и отраженной В:

Коэффициент отражения, как отношение интенсивностей отраженной волны В и падающей волны А запишется в виде равенства:

(16)