14.Ситуация равновесия в игре. Понятие седловой точки. Чистые стратегии двух игроков.

Оптимальной ситуацией в игре (A_i^*, B_j^*) называется такая ситуация, от которой невыгодно отклоняться обоим игрокам.

Ситуация равновесная, если от неё невыгодно отклоняться одному из игроков.

В матричной игре принцип оптимальности и равновесия совпадает.

Для антагонистических игр принцип равновесия эквивалентен принципу минимакса.

(A_i^*, B_j^*) – ситуация равновесия или седловая точка, если

Седловая точка – минимум в строке и максимум в столбце.

В игре может существовать либо одна седловая точка, либо несколько, либо ни одной.

Если в матрице существуют 2 седловые точки , то цена игры не изменяется.

Седловыми точками также являются следующие: и .

15. Смешанные стратегии двух игроков в матричной игре. Выигрыши игроков в игре. Теорема Дж. Фон Неймана о ситуации равновесия.

Если матричная игра не имеет решения в чистых стратегиях, его следует искать в смешанных.

Для игроков А и В вводится понятие вектора вероятностей:

ξ = (p₁, p₂, …, p_m)

h = (q₁, q₂, …, q_n)

m, n – число стратегий игроков A и B; p_i – вероятность, с которой игрок A будет применять чистую стратегию i; q_i – аналогично для B.

Смешанные стратегии – совокупность чистых стратегий A₁, A₂, …, A_m и B₁, B₂, …, B_n в сочетании с векторами вероятностей их применения.

Средний выигрыш A: V_A = V(ξ, h) = . Если ξ, h – оптимальные смешанные стратегии игроков, он равен цене игры.

Теорема Джона фон Неймана: Всякая п/у матричная игра всегда имеет ситуацию равновесия если не в чистых, то в смешанных стратегиях.

16. Аналитическое решение игры 2х2. Геометрическое решение игры 2x2.

– платёжная матрица

x = (p₁, p₂) = (p, 1-p) – смешанная стратегия А

y = (q₁, q₂) = (q, 1-q) – смешанная стратегия B

1. < p < 1; 0 < q < 1

а) Аналитическое решение

Согласно теореме об активных стратегиях:

V(p, 1) = V = = a₁₁p + a₂₁(1-p)

V(p, 2) = V = = a₁₂p + a₂₂(1-p)

Отсюда получаем:

p = p₁ = ; p₂ = ; V =

Аналогично для B:

V(1, q) = V = = a₁₁q + a₁₂(1-q)

V(2, q) = V = = a₂₁q + a₂₂(1-q)

Отсюда:

q = q₁ = ; q₂ =

б) Геометрическое решение

Откладываем на оси абсцисс единичный отрезок. Все его промежуточные точки – смешанные стратегии игрока А, причём расстояние от х до правого конца отрезка = p₁, а до левого = p₂. Ось ординат – выигрыш игрока А при использовании данной смешанной стратегии.

Построим график зависимости y(x), если игрок B использует свою первую чистую стратегию, и если он использует свою вторую стратегию.

I: y = a₁₁ + (a₂₁ – a₁₁)x; II: y = a₁₂ + (a₂₂ – a₁₂)x

Значение y в точек пересечения этих прямых – цена игры.

Аналогично для B:

I: y = a₁₁ + (a₁₂ – a₁₁)x; II: y = a₂₁ + (a₂₂ – a₂₁)x

17. Лемма о масштабе. Условия эквивалентности смешанных стратегий двух игр.

Пусть имеются 2 антагонистические игры: Г = {P, A, B} и Г’ = {P’, A, B}. P, P’ = P, P’ = платёжные матрицы этих игр, A, B – стратегии игроков.

Если P’ = αP + β, где α и β – числа, то множества оптимальных стратегий в этих играх совпадают, а цена игры V’ = αV + β.

Лемма о масштабе говорит о стратегической эквивалентности двух игр, отличающихся только началом отсчёта выигрышей и масштабом их измерений.

18. Свойства оптимальных смешанных стратегий в матричной игре.

Пусть x*, y* - оптимальные стратегии игроков. Тогда:

V(i, y*) < V(x*, y*) < V(x*, j), где 1 < i < m, 1 < j < n – чистые стратегии игроков; m, n – размерность матрицы.

Т. е. каждому игроку по отдельности невыгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Теорема об активных стратегиях: Если один игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, а второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий, выигрыш остаётся равным цене игры (не меняется).

Активная стратегия – стратегия игрока, которая имеет ненулевую вероятность применения в его оптимальной смешанной стратегии.