Вариант 2
1) Решить графически и аналитически задачу линейного программирования:
Решение:
=>
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
|
|
Приведем
систему к единичной матрице методом
жордановских преобразований.
1.
В качестве базовой переменной можно
выбрать
.
Получаем
новую матрицу:
|
|
|
|
|
Свободные элементы |
-1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
7 |
Выразим базисные переменные через остальные
Подставим их в целевую функцию:
Среди свободных членов имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является опорным.
Вместо переменной x3 следует ввести переменную x2.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис |
В |
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
x4 |
2 |
-3 |
0 |
2 |
1 |
0 |
x5 |
6 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
F(X0) |
3 |
4 |
0 |
-3 |
0 |
0 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
|
|
|
|
|
-1 : -1 |
-1 : -1 |
-1 : -1 |
1 : -1 |
0 : -1 |
0 : -1 |
4-(-1 • 2):-1 |
-1-(-1 • 2):-1 |
2-(-1 • 2):-1 |
0-(1 • 2):-1 |
1-(0 • 2):-1 |
0-(0 • 2):-1 |
7-(-1 • 1):-1 |
2-(-1 • 1):-1 |
1-(-1 • 1):-1 |
0-(1 • 1):-1 |
0-(0 • 1):-1 |
1-(0 • 1):-1 |
Выразим базисные переменные через остальные
Подставим их в целевую функцию:
-3
Матрица коэффициентов этой системы уравнений имеет вид:
A = |
|
|
Решим
систему уравнений относительно базисных
переменных:
,
,
Полагая,
что свободные
переменные равны
0, получим первый опорный план:
= (0,1,0,2,6)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно
Базис |
В |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
|
2 |
-3 |
0 |
2 |
1 |
0 |
|
6 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
F(X0) |
0 |
4 |
0 |
3 |
0 |
0 |
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода
I) Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной так как это наибольший коэффициент. Определение новой свободной переменной. min {- , 2 : 2 , 6 : 1 } = 1 Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
В |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
- |
|
2 |
-3 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
6 |
F(X1) |
0 |
-4 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |