№6. Сведения из теории выпуклых множеств. Выпуклые множества в н-мерном пространстве.

Точка А называется выпуклой линейной комбинацией точек , если , где и

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит их произвольную выпуклую, линейную комбинацию.

Угловыми или крайними точками выпуклого множества называются точки, которые не являются выпуклой, линейной комбинацией двух произвольных точек этого же множества.

Точка множества называется граничной, если любой шар с центром в этой точке содержит как точки принадлежащие множеству, так и точке не принадлежащие ему.

Граничные точки образуют границу данного множества.

Замкнутым называют множество, содержащее все свои граничные точки.

Выпуклым многоугольником называется выпуклое, замкнутое, ограниченное

множество на плоскости, имеющее конечное число угловых точек.

В 2-мерном пространстве самым простейшим выпуклым множеством является отрезок прямой, аналогично в n – мерном пространстве отрезок 2 тучек М1 и М2 это выпуклое множество точек удовлетворяющее

М1(x₁⁽¹⁾,…,x_n⁽¹⁾), М2(x₁⁽²⁾,…,x_n⁽²⁾)

При k > 2

M=

K=3.

M=

M(x_1… x_n) x_i= x_i⁽¹⁾ + x_i⁽²⁾, i=

Тогда точка м (x1… xn) является выпуклой линейной комбинацией м1,…мк:

M=

.

Множество точек выпукло, если оно вместе с произвольными 2 своими точками содержит произвольную выпуклую линейную комбинацию.

В н-мерном пространстве выпуклый н-мерный многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек.

№7. Задача линейного программирования в канонической форме. Основные теоремы о множествах оптимальных решений этой задачи.

Канонический вид задачи ЛП

Утверждение:

Множество всех доступных решений системы ограничений, задачи линейного программирования является выпуклым многоугольником.

Теорема 1:

Если задача ЛП имеет оптимальное решение, то линейная функция F(x) достигает своего min (max) в 1 из точек многогранника решений.

Следствие:

Если максимальное значение целевая функция задачи принимает более чем в одной вершине, то она принимает его во всякой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин.

Теорема 2:

Каждому допустимому базисному решению задачи ЛП соответствует 1 угловая точка многогранника решений, и наоборот.

Из последней теоремы следует геометрический метод решения задач ЛП.

8.Геометрический метод решения злп mxn. Пример для задачи mx2 (на минимум и максимум)

Множество решений задачи представляет собой выпуклый многогранник. Точки этого множества, лежащие на границе, удовлетворяют ограничению типа равенства.

Нужно выбрать такое оптимальное решение, которое доставляло бы max или min функции F(x).

Геометрическую интерпретацию решения ЗЛП можно сделать, когда система ограничений либо имеет 2 переменные x₁ и x₂, либо число независимых строк системы на 2 меньше числа переменных n-m=k=2 (n-r=2).

Пусть r=m. Известно, что m линейно независимых уравнений всегда можно решить через базисные переменные, выразив их через свободные.

Пусть x₁ и x₂ – свободные, a x₃,x₄…x_n – базисные. Если это не так, то к этому всегда можно прийти, если переменные перенумеровать.

AX=B => m уравнений.

Тогда свободные переменные лежат в I квадрате плоскости X₁OX₂.

Чтобы удовлетворить полученным m неравенствам , построим на плоскости X₁OX₂ соответствующие области, отвечающие этим неравенствам.

Далее отмечаем штриховкой ту часть плоскости, для которой .

Пересечение полученный областей дает допустимую область решения задачи, если пересечения областей нет, то решения задачи не существует. В остальных случаев решение может существовать, но оно может быть не единственным.

В построенной области нужно найти оптимальное решение.

Для этого дадим геометрическую интерпретацию условию

(min -> (-F(x) -> max)).

Сначала нужно подставить главные переменные x₃,x₄…x_n через свободные в F(x). В результате подстановки =>

При поиске max можно отбросить и рассмотреть функцию

Положим (уравнение прямой на плоскости через начало координат(опорная прямая))

Придавая различные значения, опорная прямая будет перемещаться параллельно самой себе.

В результате получаются мини-уровни

На многоугольнике решений нужно найти точку, через которую проходит линия уровня F(x) с наибольшим(если ищется max) или с наименьшим(если ищется min) уровнем.