41. Сведение позиционной игры к матричной в условиях неполной информации. На примере двухходовых и трехходовых игр.

Нормализация двухходовой игры с неполной информацией.

Перед нами двухходовая игра, где каждый игрок на каждом ходе имеет две альтернативы.

I ход: A выбирает число

II ход: B выбирает число , не зная выбора числа x игроком A.

Каждый игрок имеет по две альтернативы:

Приведем матрицу выигрышей для игрока A:

	B1	B2
A1	a	b
A2	c	d

Тогда имеет матрицу выигрышей:

	B1	B2
A1	1	-1
A2	-2	2

, значит, игра не имеет решения в чистых стратегиях. Будем искать в смешанных.

Нормализация трехходовой игры с неполной информацией.

1. Пусть первых ход делает A, он выбирает число

2. Второй ход делает игрок B, выбирая из множества , не зная выбора, сделанного игроком A

3. Третий ход делает A, выбирая , не зная ни x, ни y.

После этого игроки расплачиваются.

У игрока B – 2 стратегии.

В данном примере у игрока A будет 4 стратегии, записанные в формате

Функция выигрышей -

Тогда

1. 

2. 

3. 

42. Сведение позиционной игры к матричной в условиях полной информации о стратегиях соперника.

Рассмотри ПИ двух лиц, каждое из которых делает по одному ходу. Игрокам известны ходы противника, т. е. перед нами двухходовая игра с полной информацией.

Пусть у каждого игрока имеются всего по 2 альтернативы.

A выбирает число

B выбирает число

a, b, c, d – выигрыши игрока A

В результате игры A получается выигрыши a, b, c, d.

Нормализуем данную позиционную игру. Укажем множество стратегий.

Игрок A имеет лишь две стратегии.

У игрока B имеется 4 стратегии. Зададим стратегии игрока B упорядоченной парой чисел:

– альтернатива игрока B при условии

– альтернатива игрока B при условии

[2,1] – эта стратегия игрока B означает, что на первом ходе A выбрал стратегию , тогда B выбирает , если же A выбирает , то B выбирает .

Составим платежную матрицу игры.

Пусть – функция выигрыша, тогда:

Получим матрицу P:

V = -1

(

Позиционная игра с полной информацией всегда имеет решение в чистых стратегиях.

43. Позиционные игры со случайными ходами. 1)1 ход делает случайно игрок О(природа) выбирает x 2 ход А: y , не зная выбора на 1 ходе(х) 3 ход В: z . После чего игроки расплачиваются. -2 4 1 -4 3 0 -3 -5

В

В

В

В

1 2 1 2 1 2 1 2

А

А

1 2 1 2

О

1 2

A: A₁={y=1}, A₂={y=2}; B:[z₁,z₂], z₁,z₂ {1,2}. Если x=1, то z=z₁, если х=2, то z=z₂.

X=1	B1[1,1]	B2[1,2]	B3[2,1]	B4[2,2]
A1(y=1)	w(1,1,1)	w(1,1,1)	w(1,1,2)	w(1,1,2)
A2(y=2)	w(1,2,1)	w(1,2,1)	w(1,2,2)	w(1,2,2)

X=2	B1[1,1]	B2[1,2]	B3[2,1]	B4[2,2]
A1(y=1)	w(2,1,1)	w(2,1,2)	w(2,1,1)	w(2,1,2)
A2(y=2)	w(2,2,1)	w(2,2,2)	w(2,2,1)	w(2,2,2)

(A₁,B₁)-оптимальная ситуация v_A=0.5 2) 1 ход О: x Если х=1, то на 2 ходе А выбирает y , зная х 3 ход: В: z , зная х, не зная у Если х=2, то на 2 ходе В: y , зная х 3 ход: А: z , зная х, не зная у

-2 4 1 -4 3 0 -3 -5

В

В

А

А

1 2 1 2 1 2 1 2

А

В

1 2 1 2

О

1 p 1-p 2

A: (y,z), y,z , Если x=1, то у; Если х=2, то z; B: (y,z), y,z , Если x=1, то z; Если х=2, то y

X=1	B1(1,1)	B2(1,2)	B3(2,1)	B4(2,2)
A1(1,1)	w(1,1,1)	w(1,1,2)	w(1,1,1)	w(1,1,2)
A2(1,2)	w(1,1,1)	w(1,1,2)	w(1,1,1)	w(1,1,2)
A3(2,1)	w(1,2,1)	w(1,2,2)	w(1,2,1)	w(1,2,2)
A4(2,2)	w(1,2,1)	w(1,2,2)	w(1,2,1)	w(1,2,2)

X=2	B1(1,1)	B2(1,2)	B3(2,1)	B4(2,2)
A1(1,1)	w(2,1,1)	w(2,1,1)	w(2,2,1)	w(2,2,1)
A2(1,2)	w(2,1,2)	w(2,1,2)	w(2,2,2)	w(2,2,2)
A3(2,1)	w(2,1,1)	w(2,1,1)	w(2,2,1)	w(2,2,1)
A4(2,2)	w(2,1,2)	w(2,2,2)	w(2,2,2)	w(2,2,2)

P_A=p . p= => P_A=