33. Принципы доминирования в биматричных играх. Пример для матриц размера 3x3.

Для игрока А стратегия x’(строго) доминирует x’’, если H_A(x’,y) (>) H_A(x’’,y), y. Для игрока B: y’(строго) доминирует y’’, если H_B(x,y’) (>) H_B(x,y’’), x.

H_A(x,y)=

H_A(x,y)= Пример: A= B= A= B= A= B=

A= B= A= B=

34. Ситуация равновесия по Нэшу в биматричной игре в произвольной размерности. Свойства ситуаций равновесия. Теорема Дж. Нэша. Ситуация в игре называется ситуацией равновесия по Нэшу, если

Ситуацией равновесия называется такая ситуация, при которой по отдельности каждому из игроков невыгодно отклонятся от этой ситуации. Ситуация(x*,y*) называется ситуацией равновесия в смешанных стратегиях БИ, если x,y: H_A(x,y*) H_A(x*,y*) и H_B(x*,y) H_B(x*,y*). Т.е. если один из игроков отклоняется от своей равновесной стратегии, то его выигрыш не увеличивается. Теорема Нэша: в БИ всегда существует хотя бы одна ситуация равновесия в смешанных стратегиях. Свойства ситуации равновесия: 1) Чтобы (x*,y*) была ситуацией равновесия необходимо и достаточно, чтобы

2) Пусть (x*,y*) – ситуация равновесия, тогда, если и если

35. Ситуация равновесия по Нэшу в биматричной игре 2x2. Поиск смешанных стратегий для двух игроков.

A: x=(p₁,p₂)=(p,1-p), p₁=p, p₂=1-p , B: Y=(q₁,q₂)=(q,1-q), q₁=q, q₂=1-q H_A(x,y)=H_A(p,q), H_B(x,y)=H_B(p,q) H_A(p,q)=a₁₁pq+a₁₂p(1-q)+a₂₁(1-p)q+a₂₂(1-p)(1-q), H_B(p,q)=b₁₁pq+b₁₂p(1-q)+b₂₁(1-p)q+b₂₂(1-p)(1-q) H_A=(a₁₁-a₁₂-a₂₁+a₂₂)pq+(a₁₂-a₂₂)p+(a₂₁-a₂₂)q+a_22, H_B=(b₁₁-b₁₂-b₂₁+b₂₂)pq+(b₁₂-b₂₂)p+(b₂₁-b₂₂)q+b₂₂ C=a₁₁-a₁₂-a₂₁+a₂₂, =a₂₂-a₁₂, D= b₁₁-b₁₂-b₂₁+b₂₂, =b₂₂-b₁₂ H_A(p,q)=Cpq- p+(a₂₁-a₂₂)q+a₂₂, H_B(p,q)=Dpq- q+(b₁₂-b₂₂)p+b₂₂ (p*,q*)-ситуация равновесия в БИ, x*=(p*,1-p*), y*=(q*,1-q*), H_A(p*,q*)=v_A, H_B(p*,q*)=v_B

36. Графическая интерпретация решения в биматричной игре 2x2 по Нэшу.

=> => Решение для игрока А: 1) Если p=0, то q [0,1]: Cq- ; 2) Если p=1, то : Cq- 3) Если 0<p<1, то Cq- . Частные случаи для коэффициентов C и 1) Если C= =0, => p [0,1], q [0,1], то решением является весь единичный квадрат. 2) Если C=0, => либо p=0, либо p=1, т.е. решение в чистых стратегиях. 3) C >0, то: 1. Если p=0, q ; 2. Если p=1, ; 3. Если 0<p<1, q= 4) C <0, то: 1. Если p=0, q ; 2. Если p=1, ; 3. Если 0<p<1, q=

Графическая интерпретация множества решений: С>0 C<0

Решение для игрока В: 1) Если q=0, то 1: Dp- ; 2) Если q=1, то : Dp- 3) Если 0<q<1, то Dp- . Частные случаи для коэффициентов D и 1) Если D= =0,, то решением является весь единичный квадрат. 2) Если D=0, => либо q=0, либо q=1, т.е. решение в чистых стратегиях. 3) D >0, то: 1. Если q=0, p ; 2. Если q=1, ; 3. Если 0<q<1, p= 4) D <0, то: 1. Если q=0, p ; 2. Если q=1, ; 3. Если 0<q<1, p=

Графическая интерпретация множества решений: D>0 D<0 D>0 C>0 D<0 C>0 Точки пересечения – ситуации равновесия. (p*,q*)=( )