2.1. Распределение суммы св

Пусть =+,=, тогда=,=1 и мы получим=, что естественно совпадает с полученным ранее выражением. Для ПВ разности СВ=–аналогично получим=.

2.2. Распределение произведения св

Пусть =,=. Тогда=,=и=.

2.3. Распределение частного св

Пусть =,=. Аналогично предыдущим случаям=,=и=.

Как будут выглядеть эти формулы для независимых СВ, догадаться нетрудно.

Контрольные вопросы

1. Как формулируется задача отыскания ПВ функционально преобразованных СВ?

2. Как находится ПВ случайной величины , если известна совместная ПВ случайных величини? Как выглядит этот результат, если СВинезависимы?

3. Дайте определение характеристической функции СВ ; случайного вектора.

4. Сформулируйте свойства ХФ.

5. Как решается задача отыскания ПВ случайной величины , если известна ПВ?

6. Пусть СВ описывается нормальным распределением. Найти ПВ случайной величины, если;;,

7. Как решается задача определения ПВ функционально преобразованной совокупности СВ?

8. Декартовы координаты точки иявляются СВ, описываемыми совместной ПВ. Записать выражения для ПВ длиныи аргументаслучайного вектора, начало которого находится в точке (0,0), а конец в точке.

9. Как решается задача об отыскании ПВ случайной величины при заданной ПВ?

10. Найдите ПВ суммы и разности независимых нормальных СВ, имеющих параметры ,и,соответственно.

Глава 3. Числовые характеристики случайных величин

Рассмотренные ранее функция распределения, плотность вероятности и характеристическая функция дают наиболее полное представление о СВ. Однако, являясь функциями одной или нескольких переменных, для многомерных СВ, они представляют собой достаточно сложные объекты. Во многих случаях достаточно бывает использовать для описания СВ совокупность чисел, называемых числовыми характеристиками СВ. Познакомимся с этими числовыми характеристиками.

3.1. Моменты случайной величины

Под начальным -м моментом СВ, где= 1, 2, …, понимают величину, где особую роль играет,называемый математическим ожиданием или средним значением СВ . Моменты СВ существуют тогда и только тогда, когда ,= 1, 2, … . Часто для записи математического ожидания используют символ статистического усреднения, обозначаемый М, Е или просто прямой чертой сверху, т. е. ,или. Для дискретных СВ, задаваемых распределением (),= 1, 2, …,, математическое ожидание равно, если записанный ряд сходится абсолютно.

Используя аппарат дельта-функций, для дискретных СВ можно пользоваться интегральной формой записи математического ожидания

==.

1 В дальнейшем для краткости записи, если будет ясно, о какой СВ идет речь, индекс у ФР и ПВ будет опускаться.

21