Контрольные вопросы

1. Дайте определение случайной величины.

2. Для случайной величины , принимающей значения 0,1; 0,2; 0,4; 0,6 с вероятностями 0,3; 0,2; 0,2; 0,3 соответственно, построить многоугольник распределения.

3. Что такое функция распределения СВ? Какие свойства ФР вам известны? Постройте ФР для случайной величины , определенной в предыдущем вопросе.

4. Дайте определение непрерывной СВ. Что такое плотность вероятности? Каковы ее свойства?

5. Приведите выражение для ФР и ПВ случайной величины из п. 2.

6. Как определяется СВ, подчиняющаяся распределению Бернулли?

7. Как определяется СВ, подчиняющаяся биномиальному распределению?

8. Дайте определение СВ, значения которой равномерно распределены на интервале . Постройте ПВ и ФР равномерно распределенной на промежуткеСВ.

9. Запишите выражения для ПВ и ФР нормальной СВ.

10. Сформулируйте локальную предельную теорему.

11. Как звучит интегральная теорема Муавра–Лапласа?

12. Что такое многомерная или векторная СВ?

13. Как определяется ФР многомерной СВ?

14. Что такое непрерывный случайный вектор? Как для него определяется ПВ? Как связаны ПВ и ФР непрерывного случайного вектора?

15. Что такое условная плотность вероятности? Каковы ее свойства?

16. Запишите совместную ПВ СВ идля двух случаев: когдаиявляются зависимыми и независимыми СВ.

17. Считая инезависимыми нормальными СВ с параметрами,, и,соответственно. Найти вероятность попадания точки с координатамиив прямоугольник, вершины которого располагаются в точках (1,2); (3,2); (1,4); (3,4). Полагая== 2, и== 16, найдите значение искомой вероятности.

Глава 2. Функции от случайных величин

Поставим следующую задачу. Пусть многомерная СВ (случайный вектор) =имеет ПВи компоненты другого случайного вектора=функционально связаны с компонентами вектора, т. е.,, … ,. Тогда ФР случайного вектора=

=,

где область определяется неравенствами,.

Пример. Пусть требуется найти ФР и ПВ суммы СВ , т. е.. В соответствии со сказанным ФР случайной величиныесть вероятность попадания точки () в подпространство, или

.

Дляэто даст=. Область интегрирования представлена на рис. 2.1.

Переходя от двойного интеграла к повторному, получим

=.

Для отыскания ПВ суммы СВ и, считая записанный интеграл дифференцируемым по параметру, получим==.

Если СВ инезависимы, то=, гдеи– ПВ случайных величинисоответственно. Таким образом, для независимых СВ, для которых = , ПВ суммы есть свертка ПВ слагаемых.

Учитывая, что Фурье-образ свертки есть произведение преобразований Фурье сворачиваемых функций, целесообразно ввести в рассмотрение преобразование Фурье ПВ, что возможно, так как для любой ПВ выполняется условие абсолютной интегрируемости.

Определение. Преобразование Фурье ПВ определяет характеристическую функцию (ХФ) СВ=. Обратное преобразование Фурье позволяет выразить ПВ через ХФ

.

Различие знаков в показателе экспоненты для прямого и обратного преобразований по сравнению с обычно используемым несущественно, что и отмечено в гл. 5 первой части пособия.

Таким образом ХФ суммы независимых СВ иесть произведение ХФ слагаемых, т. е.=.

Характеристическая функция естественно определяется и для многомерных СВ как многомерное преобразование Фурье совместной ПВ случайных величин

=,

=

.

Из определения многомерных ХФ видно, что если СВнезависимы, т. е.=, то переменные в многомерном интеграле, определяющем, разделяются и

=.

Вернемся к задаче отыскания ПВ функций от СВ. В рассмотренном примере мы показали, как можно найти ПВ функции от СВ (суммы) путем дифференцирования ФР. Однако можно решить задачу о нахождении ПВ функций от СВ, не обращаясь к помощи ФР.

Поясним это на примере. Пусть требуется найти ПВ случайной величины , связанной со СВфункциональным соотношением. Будем вначале считать, чтозадает взаимно однозначное соответствие между СВи(рис. 2.2).

Можно утверждать, что в силу функциональной связи между и, вероятность попадания СВв промежутокравна вероятности попадания СВв промежуток. Считаяималыми, это утверждение можно записать в виде. В пределе при,это равенство станет точным. Знак модуля ставится в силу неотрицательности вероятностей, в то время как величиныи, вообще говоря, имеют знак.

Разрешая уравнениеотносительно(в силу наличия взаимно однозначного соответствия междуирешение единственно)и учитывая, что, получим окончательно

.

Рассмотрим случай, когда уравнениеимеет несколько решений (рис. 2.3).В этом случае вероятность попадания СВ в интервалесть вероятность объединения двух несовместных событий: попадание СВв интервали попадание СВв интервал. Следовательно,

,

где – функции, обратные кf на интервалах однозначности.

Двумерный случай иллюстрируется рис. 2.4. Пусть связь СВ ,и,задается функциями=и=и решения этой

системы уравнений =и=. Вероятность попадания СВив областьравна вероятности попадания СВив область, что с учетом малости областей иможно записать как .

Знак модуля появился вследствие того, что площади иориентированы (направление обхода или положение нормали). Переходя к пределу, получим, где– определитель Якоби, или якобиан, имеющий смысл масштабного коэффициента при преобразовании элемента площади из системы координатв систему, связанных между собой записанными выше соотношениями=и=.

Например, при переходе от декартовых координат к полярным, этот случай нам потребуется в дальнейшем, случайные величины и, радиус-вектор и полярный угол, связаны со случайными величинамии, декартовы координаты, известными соотношениями=и=. Соответственно,и. Вычисляя якобиан, получими ПВ полярных координат,связана с ПВ декартовых координат=,=соотношением

.

Знак модуля в данном случае можно опустить, так как .

Обобщение на случай многозначности решений системы уравнений, задающей связь между СВ ивыглядит аналогично одномерному случаю

,

где – число решений.

Полученные результаты позволяют сравнительно просто решать задачу определения ПВ случайной величины, являющейся функцией нескольких СВ. Пусть =и ПВизвестна. Введем СВпо правилу=,=, …,=и запишем в соответствии с полученными результатами

,

где =. Для отыскания ПВ случайной величинынеобходимо проинтегрировать полученное выражение по всем значениям, т. е.

=.

Рассмотрим конкретные и очень важные примеры.