26. Производные основных функций.

Степенная функция.

Дадим аргументу x приращение . Функцияполучит приращение. По формуле бинома Ньютона имеем

Тогда ,

Показательна функция.

Для начала найдем формулу для . Дадим аргументуx приращение . Функцияполучит приращение,. Формулу длянайдем как для сложной функции

Логарифмическая функция.

Аналогично предыдущему докажем сначала, что , далее как для сложной функции найдем, что

Тригонометрическая функция.

Пользуясь первым замечательным пределом докажем, что .

Дли косинуса найдем производную как для сложной функции .

Аналогично и для тангенса (катангенса).

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

27. Производная сложной функции.

Пусть и, тогда- сложная функция

Если функция имеет производнуюв точке х, а функцияимеет производнуюв соответствующей точке, то сложная функцияимеет производнуюв точке х, которая находится по формуле

28. Логарифмическое дифференцирование.

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать.

29. Производная показательно – степенной функции.

30. Производная обратной функции.

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

31. Дифференциал функции.

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

32. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение

33.Свойства дифференциала.

34.Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи.

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Первый дифференциал функции определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли её аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

35. Формула Тейлора.

Для многочлена степени n:

Для произвольной функции: Если функция определена в некоторой окрестности точкии имеет в ней производные до-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точкатакая, что справедлива формула:

, где

- остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранджа

36. Формула Лагранжа.

или

37. Формула Маклорена.

Частный случай формулы Тейлора при .

, где .

38. Представление функций по формуле Тейлора.

Если функция определена в некоторой окрестности точкии имеет в ней производные до-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точкатакая, что справедлива формула:

39. Бином Ньютона.

Бином Ньютона – формула, выражающая выражение в виде многочлена.

40. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

, причем это равенство тем точнее, чем меньше

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

41. Теоремы о среднем.

42. Теорема Ролля.

Если функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка, в которой производнаяобращается в нуль, т.е..

43. Теорема Лагранжа.

Если функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

44. Теорема Коши.

Если функции инепрерывны на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), причем для, то найдется хотя бы одна точкатакая, что выполняется равенство.

45. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

1) Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида . Пусть функцииинепрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке. Пусть в окрестностях точки . Если существует предел, то.

2) Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида . Пусть функцииинепрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, может быть, точки), в этой окрестности, . Если существует предел , то.

46. Производная и дифференциалы высших порядков.

Дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала -го порядка:

Дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам.

47. Правила нахождения производных.

48. Исследование функций.

49. Возрастание и убывание функций.

Необходимость. Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция f(x) возрастает (убывает), то () для всех х из (a;b).

Достаточность. Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и то () для всех х из (a;b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).

При исследовании функции необходимо найти производную и установить на каких отрезках она положительная (функция возрастает), а на каких – отрицательна (функция убывает).

50. Точки экстремума.

Минимум (максимум) функции называется экстремумом функции.

Точка называетсяточкой максимума (минимума), если существует такая окрестность точки , что для всехвыполняется неравенство.

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точкето ее производная в этой точке равна нулю.

Достаточное условие экстремума. Если непрерывная функция , дифференцируема в некоторой окрестности точкии при переходе через нее производная меняет свой знак, то- точка экстремума.