- •1. Введение в математический анализ. Числовая последовательность.
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •3. Монотонные последовательности.
- •4. Число е.
- •5. Связь натурального и десятичного логарифмов.
- •6. Предел функции в точке.
- •7. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
- •8. Основные теоремы о пределах.
- •9. Бесконечно малые функции.
- •10. Свойства бесконечно малых функций.
- •11. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •17. Свойства непрерывных функций.
- •18. Точки разрыва и их классификация.
- •19. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •20. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •21. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •26. Производные основных функций.
- •27. Производная сложной функции.
- •51. Критические точки.
- •59. Свойства неопределенного интеграла.
- •60. Таблица основных интегралов.
1. Введение в математический анализ. Числовая последовательность.
Числовая последовательность – Функция вида , заданная на множествеN натуральных чисел. Обозначается в виде {xn}, . Число x1 называется первым членом (элементом) последовательности, xn – общим или n-м членом последовательности.
Задается либо формулой общего члена, либо рекуррентной формулой.
Формула общего члена позволяет вычислить любой член последовательности по номеру n (при помощи этой формулы можно сразу вычислить любой член последовательности).
Пример:
Рекуррентная формула определяет правило, по которому можно найти n-ый член последовательности, зная первый и (n-1)-ый члены (при таком способе для нахождения 100-го члена последовательности придётся сначала посчитать 99 предыдущих).
2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
Числовая последовательность – Функция вида , заданная на множествеN натуральных чисел. Обозначается в виде {xn}, . Число x1 называется первым членом (элементом) последовательности, xn – общим или n-м членом последовательности.
Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство . (если, то последовательность -неограниченная).
3. Монотонные последовательности.
Числовая последовательность – Функция вида , заданная на множествеN натуральных чисел. Обозначается в виде {xn}, . Число x1 называется первым членом (элементом) последовательности, xn – общим или n-м членом последовательности.
Последовательность {xn} называется возрастающей, если для любого выполняется неравенство . (если, то последовательность -убывающая). Если все элементы последовательности {xn} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.
Возрастающие, убывающие и постоянные последовательности – монотонные.
4. Число е.
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Рассмотрим последовательность .
По формуле бинома Ньютона:
Пусть , тогда:
- возрастающая последовательность, причём . Заменим в правой части скобки на 1, а факториалы на степени двойки. По формуле суммы членов прогрессии найдём, что:
Последовательность ограничена, при этом для выполняется неравенство:, следовательно на основаниитеоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемей буквой е.
.
Число е называется неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045…). Число е принято за основание натуральных логарифмов ()
5. Связь натурального и десятичного логарифмов.
За основание натуральных логарифмов принято число е, десятичных – 10. (,)
По определению логарифма имеем . Прологарифмируем по основанию 10.
Пользуясь десятичными логарифмами, находим , значит, либо
6. Предел функции в точке.
Определение 1 (на “языке последовательностей”, или по Гейне). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки. Число А называется пределом функциив точке(или при), если для любой последовательности допустимых значений аргумента, сходящихся к числу(т.е.), последовательность соответствующих значений, сходится к числу А (т.е.).
Определение 2 (на “языке ”, или по Коши). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки. Число А называется пределом функциив точке(или при), если для любого положительногонайдётся такое положительное число, что при всехx, удовлетворяющих неравенству , выполнится неравенство.