Задание 7
Решение
1-й график - белый шум с равномерным распределением.
2-й
график - корреляционная функция этого
шума (ни один отсчет не зависит от
соседних). Корреляционная функция близка
к
-функции,
но имеет “бороду” случайных выбросов,
вызываемую конечными реализациями.
3-й
график - зависимость среднего значения
для некоторой реализации от числа первых
N отсчетов для этого сигнала и доверительные
интервалы для
(
2
).
4-й график - окрашенный шум, полученный из белого шума из 1-го графика.
5-й график - корреляционная функция окрашенного шума (отсчеты зависят друг от друга). Корреляционная функция имеет вид симметричной затухающей экспоненты с пуком в нулевой ординате.
6-й
график - зависимость среднего значения
для некоторой реализации от числа первых
N отсчетов для окрашенного шума и
доверительные интервалы для
(
2
).
Задание 8
Решение
Формула для расчета оценки среднего при расчете на ЭВМ в дискретном виде:
В
силу центральной предельной теоремы
закон распределения вероятностей для
этой суммы стремится к нормальному. Для
нормального распределения вероятность
пребывания нормально распределенного
сигнала в соответствующем “коридоре”
составляет 95%. Для инженерных методик
5%-ая точность считается вполне допустимой,
и потому так часто интересуются интервалом
именно в
.
Можно оценить дисперсию оценки среднего, вычисляемого на конечном интервале:
При вычислении в дискретном виде используют дискретный аналог этого выражения:
где
.
Имея реализацию длиной в N отсчетов, мы можем рассчитывать среднее и по меньшему их числу, например, начиная с 5, 6, ..., N. Это дает возможность наблюдать процесс установления текущего среднего для данной частной реализации. Возможно многократно повторять расчеты (эксперименты), накладывая графики на общее поле с заранее обозначенными границами доверительных интервалов. Поскольку, как указано выше, процесс усреднения, в силу центральной предельной теоремы, ведет к нормализации функции распределения для результата, указанные границы соответствуют доверительной вероятности 95%.
Данное выражение и является оценкой доверительного интервала, куда попадают более 95% результатов.
Таким образом, из полученного выше выражения,
принимая во внимание N = 256 ,
,
оценка границы
доверительного интервала для
:
=
2
=
0,125
оценка границы
доверительного интервала для
:
=
2
0,598
Задание 9
Решение
Программа выполняет эксперименты с новыми реализациями, сохраняя ранее установленные параметры и отображая новые (последние текущие) реализации и (рассчитываемые по ним) корреляционные функции в соответствующих окнах; графики, демонстрирующие установление средних значений, пополняются накапливаемым семейством кривых.
За пределы доверительных интервалов могут выходит чуть менее 5% значений xсред, так как в интервале 2σ находится более 95% значений.
Задание 10
Решение
Для верхней диаграммы, когда отсутствует какая-либо статистическая взаимосвязь между парами отсчетов сигнала, сдвинутых на любой значимый интервал времени, процесс подвержен резким флуктуациям. Корреляционная функция для такого процесса близка к -функции, а спектральная плотность близка к равномерной во всем диапазоне частот. Этот процесс называется “белым шумом” - по аналогии с белым цветом, являющимся равномерной смесью всех других цветов.
Вообще понятие “белый шум” подразумевает под собой в идеале равномерное распределение по всему спектру частот и, следовательно, ковариационную его функцию в виде -функции. Однако в нашем исследовании мы имеем дело с конечными реализациями. И если мы говорим теперь о представителе некоторого процесса в виде единственной реализации с выраженными характеристиками “белого шума” то характеристика по времени (уже корреляционная функция) будет похожа на -функцию, особенно в нулевой ординате (при нулевом сдвиге), но при этом а справа и слева от 0 явно прослеживается “борода”, вызванная случайными выбросами всех других отсчетов во времени. При этом “борода” тем больше чем короче реализация. Если реализацию удлинять то она уменьшается. В идеале при увеличении в бесконечность превратится в -функцию.
Во втором случае (нижней диаграмме) имеется статистическая взаимосвязь внутри процесса (между сдвинутыми во времени парами отсчетов), процесс становится более плавным, а его корреляционная функция принимает вид плавно затухающей экспоненциальной кривой. Такой сигнал часто называют, в отличие от “белого шума”, “окрашенным” сигналом.
Следует
отметить, что значение корреляционной
функции в 0 является оценкой математического
ожидания, что в совокупности рассматриваемых
диаграмм позволяет определить коэффициент
усиления
.
Сопоставляя вид сигналов и их корреляционные функции, можно заметить, что расстояние между характерными пиками сигнала примерно совпадает с протяженностью соответствующей корреляционной функции.
Хотя эта зависимость и является “эмпирической”, однако позволяет сделать предварительные выводы о коррелированности сигналов по виду реализаций.