Задание 5

Решение

В отличие x₁(t) и от x₂(t), сигнал x₃(t) более плавный и разреженный, за счет влияния “временных” свойств сигнала. При этом гистограмма x₃(t) хотя и имеют вид гауссовой кривой как и x₂(t) , но она менее острая, имеет меньшее затухание экспоненты и меньшее значение в нулевой ординате.

Пояснение:

Динамический объект ”Сглаживание и усиление” можно описать дифференциальным уравнением 1-го порядка:

где x(t), y(t) - входной и выходной сигналы, Т₁ - постоянная времени, k-статический коэффициент усиления. Такое уравнение решается методом разделения переменных, причем результат описывает затухающий переходной процесс с постоянной времени Т₁:

В случае подачи на вход белого “гауссовского” шума стационарный участок выходной функции y(t) обладает экспоненциальной ковариационной функцией

Принимая во внимание, что = =1,

и используя для получения дисперсии равной 1 коэффициент усиления ,

получаем, что ковариационная функция динамического звена определяет степень внутренних взаимосвязей во временном процессе и зависит от T.

Применительно к уравнению свертки

весовая функция для апериодического звена

зависит исключительно от параметра T и временного сдвига .

Весовая функция обеспечивает сохранение неизменным лишь среднего значения сигнала, проходящего через динамический объект; сам сигнал, точнее его форма, и другие характеристики претерпевают определенные изменения. Значение выходного сигнала в каждый момент времени определяется взвешенными значениями прошлых величин входного сигнала, причем само взвешивание происходит как раз весовой функцией объекта, развернутой для этого назад.

Таким образом, на основании вышесказанного x₃(t) качественно отличается от x₁(t) и от x₂(t), так как его значения в каждый момент времени в большой степени зависят от прошлых величин входного сигнала, выходной сигнал от этого становится более сглаженным и разреженным. И более с более “нормальным” распределением.

Кроме того при подаче на вход нашего о динамического звена сигнала с (уже) нормальным законом распределения (белого гауссовского шума), то такое звено (апериодическое звено 1-го порядка) изменяет лишь параметры, но не вид закона распределения, который остается нормальным.

Задание 6

Решение

Делаем по 3 эксперимента с максимальным и минимальным значением параметра T.

Из проведенных экспериментов явно видно, что при увеличении параметра T сигнал становится более гладким и разреженным, а гистограммы становятся более “острыми” (с большей крутизной экспоненты). Причем с увеличением T наблюдается увеличение координаты 0 гистограмм.

В нашем случае объект является апериодическим звеном первого порядка с постоянной времени T, следовательно корреляционная функция весовой функции объекта R_hh( ) зависит только от его свойств и является симметричной экспоненциальной функцией с той же постоянной времени и нулевой ординатой, равной :

Соответственно, ковариационная функция сигнала на выходе такого объекта при воздействии на его вход “белого шума” с дисперсией σ²_x определится как

В нашем случае при , k - коэффициент усиления

Исходя из этого, параметрами определяющими ковариационную функцию в данном случае является параметр 1/T - характеризующий скорость убывания ковариационной функции выходного сигнала и k/2Т - начальная ордината в 0.

Весовая функция указывает на изменение выходного сигнала, точнее его формы, и других характеристики, претерпевших определенные изменения. Значение выходного сигнала в каждый момент времени определяется взвешенными значениями прошлых величин входного сигнала, причем само взвешивание происходит как раз весовой функцией объекта, развернутой для этого назад.

Таким образом, значения выходного сигнала в каждый момент времени в большой степени зависят от прошлых величин входного сигнала и величины параметра T, При увеличении параметра сглаживания T скорость убывания и значение в 0 ординате весовой функции и ковариационной функции уменьшается, сигнал становится более сглаженным и разреженным.

Стоит также отметить что параметр T влияет также на усиление сигнала