Отчёт по лабораторной работе №3 по дисциплине «Программная инженерия управляющих систем»

выполнили студенты группы ПИН – 41 Бордюжа Якупова Москвитина Доникян Карасева Печенова Тиховский Рыжов Семенов Гончаров Камбулов Козлов Илларионов Задания Задание 1 Решение Стандартный генератор случайных чисел выдает квазинезависимую последовательность чисел, равномерно распределенную в диапазоне от [0, 1]. Для U[0,1]: Так как, по условию, математическое ожидание у равно 0, то нужно вычесть из каждого случайного числа 0,5. Перейдем теперь к распределению U[-0,5 , 0,5]: По условию, =1. Значит, для получения необходимой дисперсии следует умножить каждый элемент на . Форма распределения такого сигнала остается равномерной, а отсчеты по-прежнему квазинезависимые. В итоге, последовательность данных операций привела нас от равномерного распределения U[0,1] к равномерному распределению . Гистограмма для сигнала соответствует равномерному распределению. Границы изменений флуктуаций для сигнала это параметры и равномерного распределения. Задание 2 Решение Сигнал получен с помощью расчетного соотношения Согласно центральной предельной теореме сигнал стремится к нормальному распределению. Здесь мы воспользовались теоремой сложения математических ожиданий, которая гласит, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий. ] = На основе свойства дисперсии : = 1/9 D[ На основе того, что случайные величины независимы, дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий . Т.к. стремится к нормальному распределению, можно воспользоваться правилом трёх сигм, которое гласит, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания больше чем на три среднеквадратических отклонения, практически равна нулю. Из этого правила и вытекают границы флуктуации [-3;+3]. Гистограмма напоминает нормальный закон распределения.

Задание 3 Решение “Гауссовость” сигнала вытекает из центральной предельной теоремы, которая гласит, что сумма n независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение близкое к . «Белый шум» сигнала можно объяснить тем, что независимые равномерно распределенные случайные значения сигнала перешли в независимые нормально распределенные случайные значения. То есть «белошумность» это следствие изначальной независимости случайных величин.

Задание 4

Решение

Сигнал на выходе динамического объекта ”Сглаживание и усиление”, являющегося апериодическим звеном 1- порядка, можно описать дифференциальным уравнением 1-го порядка:

где x(t), y(t) - входной и выходной сигналы, Т₁ - постоянная времени, k-статический коэффициент усиления. Такое уравнение решается методом разделения переменных, причем результат описывает затухающий переходной процесс с постоянной времени Т₁:

В случае подачи на вход белого “гауссовского” шума стационарный участок выходной функции y(t) обладает экспоненциальной ковариационной функцией.

При моделировании алгоритма формирования «окрашенного» сигнала на ЭВМ от исходных дифференциальных уравнений переходят к разностной форме путем замены

dy на y,

dt на t,

T= Т₁ / t,

y[n]=y[n] - y[n-1]

После соответствующих подстановок получаем рекуррентное соотношение алгоритма расчета для выходной реализации «окрашенного» сигнала:

Нетрудно заметить что первое слагаемое указывает на влияние взаимосвязи со значением выходного сигнала в другом временном срезе, а второе слагаемое - ответ на очередное возмущение на входе.

Применительно к уравнению свертки

весовая функция для апериодического звена

Весовая функция обеспечивает сохранение неизменным лишь среднего значения сигнала, проходящего через динамический объект; сам сигнал, точнее его форма, и другие характеристики претерпевают определенные изменения. Значение выходного сигнала в каждый момент времени определяется взвешенными значениями прошлых величин входного сигнала, причем само взвешивание происходит как раз весовой функцией объекта, развернутой для этого назад.

Таким образом, на основании вышесказанного, x₃(t) в каждый момент времени в большой степени зависят от прошлых величин входного сигнала, выходной сигнал от этого становится более сглаженным и разреженным. И с более “нормальным” распределением.

Кроме того, при подаче на вход нашего динамического звена сигнала с (уже) нормальным законом распределения (белого гауссовского шума), то такое звено (апериодическое звено 1-го порядка) изменяет лишь параметры, но не вид закона распределения, который остается нормальным. В случае подачи динамического звена сигнала с равномерным сигналом x происходит еще изменение вида распределения с равномерного на нормальный.

Установление требуемого параметра (нормализация) осуществляется путем подбора коэффициента усиления, который в случае динамического объекта имеет вид

Установление требуемого параметра осуществляется путем центрирования сигнала. Это делается для упрощения

(1)

которое при центрировании преобразуется в более простой вид

Заметим также, что попытка использования соотношения (1) без предварительного центрирования сигнала «приподнимает» график функции на величину . На практике появление такой «подставки» явно свидетельствует о недоработанности методики.

Гистограммы сигнала x имеют вид близкий к виду по закону нормального распределения (“гауссовский”), что говорит о том, что при подаче на вход сигнала с равномерным распределением, на выходе динамического объекта получаем сигнал с нормальным распределением, а при подаче белого “гауссовского” шума, вид распределения не меняется (остается нормальным) изменяется только форма сигнала и его параметры.

Как уже упоминалось, динамический объект имеет явно сглаживающее воздействие на входные сигналы, уменьшая их флуктуацию. Это явно заметно при сравнении гистограммы x и x ( при подключении на вход динамического объекта x ). Для x мы наблюдаем почти равномерный разброс значений амплитуд по ординате, а для x максимум в 0 ординате и значительное снижение по бокам от 0 ординаты. Причем значение снижается тем более, чем далее от 0 ординаты. Это свидетельствует о нормальном распределении.

Хотя динамический объект и не меняет нормального закона распределения) входящего гауссовского белого шума x ( при соответствующем переключении), но на гистограмме мы наблюдаем более “гауссовскую” кривую гистограммы x в сравнении с x

Окрашенный шум полученный из Гауссового шума обладает теми же статистическими параметрами, что и шум полученный из равномерного. Но он более разреженный.