2 сем экзамен / все лекции

Добавил:

llirik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Физика

Файл:

где 0=4 10-7 Гн/м - магнитная постоянная, r

- радиус-вектор, проведенный от заряда q

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.09.2021

Размер:

11.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

IR I1r1

E1 .

(2)

Похожее уравнение запишем для контура, содержащего второй источник и нагрузку:

IR I2r2

E2 .

(3)

Решая систему уравнений (1)-(3) относительно неизвестных токов, найдем

E1r2 E2r1

rr R(r r )

1 2

Разделив числитель и знаменатель на (r1 r2), получим

Eэкв

R r

экв

где

Er E r

1 2

2 1

, r

1 2

экв

r r

экв

Пример-2. Рассчитаем токи

мостике

Уитстона, считая известными сопротивления

резисторов и ЭДС источника.

Решение.

Токи обозначены на рисунке.

Направления

I4 R

обхода контуров выбираем «по часовой». Для 6

неизвестных токов составим 6 уравнений на основе

правил Кирхгофа:

I I1 I2

I1 I3 I5

I4 I2 I5

E I1R1 I2R2

E I2R2 I4R4

0 I2R2 I5R5 I1R1

Решение этой системы линейных уравнений можете найти любым известным вам способом.

3.Магнитное поле

Вповседневной практике мы сталкиваемся с магнитной силой, когда имеем дело с постоянными магнитами, электромагнитами, катушками индуктивности, электромоторами, реле, отклоняющими системами кинескопов.

Воснове магнитных явлений лежат два экспериментальных факта, установленных в 19 веке:

1) Магнитное поле создается движущимися зарядами.

2) Магнитное поле действует на движущиеся заряды.

Демонстрации

1.Ток действует на магнитную стрелку

2.Взаимодействие прямых токов: токи одного направления притягиваются, противоположных направлений отталкиваются

3.Магнитное поле действует на движущиеся заряды (ЭЛТ)

Компьютерные демонстрации

4.Станок Ампера

5.Автоколебательная система

6.Проводник в поле катушки

7.Взаимодействие витков с током

8.Электрический ток в газах

9.Ток в электролите

10.Ток в проводнике

3.1.Силы, действующие в магнитном поле на движущиеся заряды

Закон, определяющий силу, действующую в магнитном поле B на движущийся заряд q , имеет вид

F q[ B]

(1)

Здесь - скорость заряда q, вектор B называется вектором индукции магнитного поля. Этот вектор характеризует магнитное поле в данной точке пространства. Соотношение (1)

является по существу определением B. Опыт показывает, что вектор B не зависит от q и. В системе СИ единицей измерения индукции магнитного поля является тесла (Тл).

F	B
F
+q	v

Если кроме магнитного поля существует и электрическое, то сила, действующая на движущийся заряд q, равна

F q[ B] qE

(2)

Эту силу называют силой Лоренца.

Формулы (1) и (2) в принципе позволяют измерять индукцию магнитного поля, созданного постоянными магнитами или токами, хотя используемые на практике датчики магнитного поля обычно используют иные физические эффекты.

3.2.Сила Ампера. Момент силы Ампера

Пусть ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения S. Вычислим силу, действующую со стороны магнитного поля на бесконечно короткий участок провода длины dl . Тогда

dF dNq[ ,B] ndlSq[ ,B] [ndlSq ,B],

где n- концентрация носителей заряда в проводнике. Заметим, что j qn , и, следовательно

qn Sdl jSdl Idl ,

где вектор dl совпадает с направлением тока. Тогда dF I[dl ,B].

Bdl

(3)

Эта формула была установлена Ампером и носит название закона Ампера (сила Ампера).

Если магнитное поле является однородным, то суммарная сила Ампера, действующая в этом поле на контур с током произвольной формы, равна нулю. Действительно, суммируя силы Ампера, действующие на отдельные фрагменты контура, получим

F I [ li ,Bi ] I[( li ),B] 0.

	Здесь учтено, что li 0, поскольку li пред-
	ставляют собой замкнутую цепочку векторов (рис.).	B
	Заметим, что, если магнитное поле неоднородное,	B
	Заметим, что, если магнитное поле неоднородное,	l
	то сила Ампера, действующая на контур с током,	l
	вообще говоря, отлична от нуля.	i
	вообще говоря, отлична от нуля.
	Магнитное поле оказывает на контур с то-
	ком ориентирующее действие, «пытаясь» развер-	li 0
	нуть его определенным образом. Исследуя этот эф-	li 0
	фект, рассмотрим простейший случай, когда прямо-

угольный контур со сторонами a, b и током I находится в однородном магнитном поле

B (рис.1). Пусть вектор B параллелен противолежащим сторонам прямоугольника длины b. Тогда на эти две стороны контура сила Ампера действовать не будет, а на две другие

стороны будут действовать две противоположно направленные силы F1 и F2 , причем

F1 F2	IBa. Пара сил F1 и F2 создает вращающий момент
	\| M \| F1b IBab ISB,

где S ab - площадь контура. Направление вектора M указано на рис. 1.

				3
				pm ISn
		I		B
a	F1	M	F2	n	S
			I	I
			I

Рис. 1. Силы Ампера и их момент, действуРис. 2. Магнитный момент контура с током ющие на прямоугольный проволочный контур

Введем в рассмотрение вектор pm магнитного момента контура с током. По опре-

делению модуль этого вектора равен	произведению силы тока на площадь контура
\| pm \| IS , а направление вектора pm	совпадает с направлением вектора n нормали к

контуру, при этом вектор нормали n связан с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис.2).

Выражение для момента сил Ампера, действующих на контур в рассматриваемом

случае, можно записать в виде:
M [pmB]	(4)

Покажем, что эта формула справедлива при произвольной форме контура и произвольной его ориентации в однородном магнитном поле.

		B B1 B2 B3					При B B3	M 0

		B1				F1	F	I
					a	F1	3	F2
			I		a		B3 F4
a		B3	B2				B3 F4	I
		B3		I

							b
			b				b
			b
			Рис.3.				Рис.4
	При произвольной ориентации вектора				B его можно представить в виде суммы

трех составляющих B B1 B2 B3, где B1 и B2 параллельны смежным сторонам пря-

моугольного контура, а B3 перпендикулярен плоскости контура (рис. 3). Если вектор B перпендикулярен контуру, то силы Ампера лишь сжимают или растягивают контур и

суммарный момент сил Ампера равен нулю ( рис.4). Учитывая, что [pmB3] 0, так как векторы pm и B3 параллельны, получим

[pmB] [pm (B1 B2 B3)] [pm (B1 B2 )] M1 M2 M ,

что доказывает справедливость формулы M [pmB] при произвольной ориентации прямоугольного контура относительно вектора магнитной индукции.

Остается рассмотреть случай, когда контур с током имеет произвольную форму и не обязательно лежит в одной плоскости. Мысленно натянем на контур с током произвольную поверхность S и разобьем ее вспомогательными линиями на очень маленькие площадки S (рис.5). Пропустив по этим вспомогательным линиям равные и противоположно направленные токи вели-

чины I, представим момент M в виде суммы моментов, действующих на такие элементарные площадки. Но каждая малая площадка может рассматриваться как плос-

кая. Сложив моменты, действующие на элеРис.5 ментарные площадки, снова получим

M [pmi ,B] [ I Sini ,B] [pm ,B],

где pm IS	, а под вектором S нужно понимать интеграл S ndS , взятый по произ-
	S

вольной поверхности S, натянутой на контур с током. Можно показать, что этот интеграл не зависит от выбора вспомогательной поверхности S, а зависит только от формы контура.

Формула M [pmB] справедлива и для неоднородного магнитного поля, если размеры контура достаточно малы. В соответствии с этой формулой силы Ампера стремятся повернуть контур с током так, чтобы его магнитный момент pm оказался сонаправ-

ленным с вектором B. В этом случае момент сил Ампера равен нулю. В случае, когда векторы pm и B имеют противоположные направления, момент сил Ампера также равен

нулю, однако такое положение контура является неустойчивым и малейшее отклонение от этого положения приводит к возникновению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от положения равновесия.

Таким образом, во внешнем магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как ведет себя электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия и, кроме того, как можно показать, под действием результирующей силы Ампера втягиваться в область более сильного поля.

3.3. Закон Био-Савара

На основе обобщения экспериментальных данных был получен закон, определяю-

щий индукцию магнитного поля B, созданного током I , протекающим в замкнутом контуре L, в произвольной точке A

	0	I[dl ,r]
B	4			(5)
B		r	3	(5)
L		r

где вектор dl - элемент длины контура, совпадающий по направлению с направлением

тока, r - вектор, проведенный от элемента контура dl к точке A,			0=4 10-7 Гн/м		- маг-
нитная постоянная.
Подынтегральное выражение в (1)
	0 I[dl ,r]
dB					(6)
dB	4	r3			(6)
обычно трактуют как магнитное поле, созданное током I ,
протекающим в малом элементе контура dl		(рис.) в точ-
ке, положение которой определяется вектором r .
Формулы (5), (6) выражают закон Био-Савара. За-				I
метим, однако, что формула (6) в отличие от (5) принци-			dl		dB
пиально не может быть проверена экспериментально, по-			dl	r	dB
скольку постоянные токи всегда замкнутые.

3.4. Магнитное поле на оси кругового тока. Точечный магнитный диполь.

Сначала вычислим магнитное поле на оси кругового витка с током. На рис. 1 показан круговой виток с током в разрезе. В сечении провода M ток I течет из плоскости чертежа "на нас", в сечении N ток втекает в плоскость чертежа.

dl	M				Bx/B0
			dB		Bx/B0
		r	dB		1,0
R		r
R					0,8
					0,8
				x
				x	0,6
					0,6
	x		P
	x		dBx		0,4
					0,4
					0,2
	+N				-3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0	0,5 1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
										x/R
		Рис.1.				Рис.2.

Вектор dB - индукция магнитного поля, созданного в точке P элементом тока Idl (dl - бесконечно малый элемент провода с током в сечении M). Заметим, что в соответствии с законом Био-Савара векторы dl , r и dB взаимно перпендикулярны и образуют

правую тройку векторов. Вектор dB изображен в "точке наблюдения", расположенной на расстоянии x от плоскости витка. От всех элементов тока будет образовываться конус

векторов dB . Легко понять, что результирующий вектор B в точке наблюдения будет направлен вдоль оси x. Это означает, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось x. Каждая такая проекция имеет вид

dBcos

Idl rsin900

Idl

cos .

cos

Интегрируя это выражение по dl

(это дает 2 R) и учитывая, что cos R/r и

r2 R2 x2 , получим

IR2

(7)

R2 3/ 2

Рассчитанный по этой формуле график зависимости Bx от x в относительных единицах приведен на рис. 2 (B0 0I /2R - магнитное поле в центре витка).

На большом расстоянии от витка, когда x r R, из формулы (7) следует

B			IR2	.
	x	0
		2r3

Эту формулу можно представить в векторном виде, если ввести в нее известный уже нам вектор магнитного момента pm ISn I R2n. Тогда:

	0 pm
B	2		.	(8)
		r3

Можно показать, что формула (8) справедлива не только для кругового витка, но и для плоского витка любой формы, если его линейные размеры значительно меньше расстояния r до точки наблюдения. Такой виток с током будем называть точечным магнитным диполем.

Здесь уместно вспомнить точечный электрический диполь и формулу для напряженности поля на его оси:

	1		pe
E				(8а)
E	2	0	r3	(8а)
		0

Видно, что формулы (8) и (8а) «подобны»: множителем, если дипольные моменты pe и

поля E и B отличаются лишь постоянным pm направлены одинаково:

	pm
B 0 0		E,	(9)
B 0 0	p	E,	(9)
	e

Такое подобие полей имеет место не только для точек, лежащих на оси диполя, но и для всех точек поля. Это строго следует из законов Био-Савара и Кулона.

3.5. Магнитное поле прямого длинного провода с током

(Иродов, стр.159)

3.6. Магнитные линии

Магнитные поля, также как и электрические, можно изображать графически при помощи линий индукции магнитного поля. Линиями индукции (или линиями вектора B)

называют линии, касательные к которым направлены так же, как и вектор B в данной точке поля. Через каждую точку магнитного поля можно провести линию индукции.

Рассмотрим линии индукции поля прямого тока. Линии индукции в данном случае концентрические окружности, центры которых расположены на оси тока.

Магнитные линии прямого проводника с током

На следующем рисунке приведены магнитные линии кругового витка с током.

Магнитные линии не всегда замкнутые: примеры

3.7. Магнитное поле заряда, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью

Магнитное поле создается движущимися зарядами. На основе обобщения экспери-

ментальных данных был получен закон, определяющий поле B точечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью (v c):

к точке, в которой определяется B.

+q r v

Пример. Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два точечных заряда q в некоторый момент времени движутся параллельно друг другу с одинаковыми нерелятивистскими скоростями v, как показано на рис.1. Найдем отношение магнитной Fм и электрической Fэ сил, действующих со стороны за-

ряда 1 на заряд 2.

			r	B
		q
q	q			q

F B

1	2	1				2				1	2
	Рис.1.	Рис.2.								Рис.3.
	Согласно (4) заряд 1 создает в точке 2 магнитное поле
		B		0	q rsin900			0	q	,
		B		0	r3			0		,
			4		r3		4 r2

направленное в плоскость чертежа (рис.2). Это магнитное поле действует на заряд 2 согласно (1) с силой

F q Bsin900	q		0	q	0	(q )2	.

м		4 r2			4 r2

Видно, что в данном случае магнитная сила является силой притяжения зарядов (рис.3).

Сила электрического взаимодействия

F qE q

4 0r2

Следовательно,

Fм

0 0 2 .

Fэ

Величина c

равна скорости света в вакууме. Поэтому

0 0

Fм

Fэ

При относительно малых скоростях, магнитная сила существенно меньше электрической. Например, при движении электронов вдоль проводов скорость направленного движения обычно составляет несколько десятых долей миллиметра в секунду. Тогда от-

ношение ( /c)2 10–24. Однако, в данном случае электрические силы практически отсут-

ствуют в результате почти идеального баланса отрицательных и положительных зарядов в проводах (провод с током электронейтральный!). Поэтому очень малая магнитная сила является, по существу, единственной. А участие огромного числа электронов в движении многократно увеличивает магнитную силу.

3.8. Основные законы магнитного поля

Теорема Гаусса для вектора B. Поток вектора B через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

Bds 0.

(11)

Эта теорема является обобщением опытных фактов и выражает тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B.

Линии индукции магнитного поля могут быть замкнутыми в отличие от линий напряженности электрического поля, которые начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Но магнитные линии не обязательно замкнуты, как это утверждается в некоторых учебниках.

Теорема о циркуляции вектора B. Для электрического поля в силу его потенци-

альности циркуляция вектора E по произвольному замкнутому контуру равна нулю. Вычислим аналогичную величину

Bdl

для магнитного поля. Рассмотрим сначала поле длинного прямого тока, а в качестве замкнутого контура выберем окружность радиуса r, центр которой совпадает с осью тока. В

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2 сем экзамен

#
24.09.2021384 Кб7EN-16_25_06_9_00.doc
#
24.09.202122.64 Mб22TEСТЫ.docx
#
24.09.202142.33 Mб20Билеты Физика-хуизика.docx
#
24.09.202111.28 Mб11все лекции.pdf
#
24.09.2021152.43 Кб8Демо-1.pdf
#
24.09.2021161.15 Кб7Демо-2.pdf
#
24.09.2021160.13 Кб5Демо-3.pdf
#
24.09.2021188.73 Кб9Задачи к экзамену.pdf
#
24.09.202114.22 Mб6Задачи.docx