2 сем экзамен / все лекции

4

неизменной. Таким образом, потенциал определен с точностью до произвольной аддитивной постоянной.

Во многих случаях за нулевой потенциал удобно принимать потенциал в бесконечно удаленной точке: 0 (r0) 0, r0

В этом случае потенциал равен работе сил поля по переносу единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность:

В системе СИ единицей потенциала является вольт (обозначается В): 1 В = 1 Дж / 1 Кл.

Найдем потенциал поля точечного заряда Q в вакууме, считая потенциал в бесконечно удаленной точке равным нулю. По определению потенциала

Отсюда

(r) kQi ,

i ri

где ri - расстояние i-ого заряда до точки наблюдения.

Связь потенциала с напряженностью электрического поля. Рассмотрим сначала однородное электрическое поле E . Пусть точки 1 и 2 лежат на оси х и имеют координаты х1

и х2. Тогда при любой ориентации оси х по отношению к силовым линиям поля E для разности потенциалов в точках 1 и 2 можно записать

5

Рис.6.

Учитывая, что Ecos Ex , получим

1 2 Ex l Ex( x2 x1).

Но

1 2 (x1) (x2) ,

где - приращение потенциала, а x - приращение координаты.

Если электрическое поле E неоднородное, то можно рассмотреть бесконечно близкие точки 1 и 2. Формула (6) тогда будет записана для бесконечно малых приращений потенциала и координаты x. Такое отношение называют частной производной функции трех переменных (x,y,z) по переменной х (обозначают / x). Аналогичным образом

можно получить формулы для проекций вектора E и на остальные координатные оси декартовой системы координат:

Ex x , Ey y , Ez z .

Эти соотношения можно объединить в одну векторную формулу

Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом скалярной величины и обозначается grad . Таким образом, формулу (7) можно записать короче

Из формулы (7) следует, что напряженность поля имеет размерность потенциала, деленного на длину ( в системе СИ - В/м).

Подведем некоторые итоги.

1.Соотношение A12 q( 1 2)является определением разности потенциалов. Из него следует

1 2 Aq12 1q1 2qEdl 1 2Edl .

Разность потенциалов можно рассчитать по этой формуле, если известна напряженность поля во всех точках некоторой траектории, соединяющей точки 1 и 2.

Пример 1. Разность потенциалов между точками 1 и 2, расположенными по разные стороны равномерно заряженной плоскости на расстояниях a и b от нее.

2.Если принять потенциал бесконечно удаленной точки равной нулю, то приведенная выше формула позволяет рассчитать потенциал произвольной точки, если известна напряженность поля во всех точках произвольной траектории, которая "соединяет" данную точку с бесконечностью.

Пример 2. Потенциал в центре равномерно заряженной сферы радиуса R .

3.Другой способ расчета потенциала, основан на использовании формулы (5) для потенциала поля точечного заряда и принципа суперпозиции. Именно этот способ является наиболее важным, поскольку в подавляющем большинстве случаев расчет

6

потенциала (скалярной величины) значительно более прост, чем расчет вектора напряженности электрического поля.

Пример 3. Потенциал в центре равномерно заряженной сферы радиуса R . Пример 3-а. Потенциал на оси равномерно заряженного кольца.

Пример 3-б. Потенциал на расстоянии r от конца равномерно заряженной палочки, длина которой L и заряд Q.

4.Формула (7) позволяет по известному потенциалу рассчитывать полеE . Эта задача сводится к дифференцированию функции, что обычно значительно проще вычисления интеграла (4) вдоль некоторой траектории.

Пример 4-а. Напряженность поля на оси равномерно заряженного кольца. Пример 4-б. Напряженность поля точечного диполя.

5.Потенциал - энергетическая характеристика электрического поля. Зная распределение потенциала в пространстве можно легко решать многие задачи о движении заряженных частиц.

2

E p/4 0r3

E 2p/4 0r3

p

Рис.3

Силы, действующие на диполь в электрическом поле.

Если электрическое поле однородное, то результирующая силаF равна нулю, так как силы F и F , действующие на отрицательный и положительный заряды диполя равны по величине и противоположно направлены. Но отличен от нуля вращающий момент этих сил:

N [lF ] [l qE] [p E].

Момент стремится повернуть ось диполя в направлении вектора E . Существуют два положения равновесия диполя: когда диполь параллелен электрическому полю и когда он антипараллелен ему. Первое положение устойчивое, второе - неустойчивое. Полученная формула момента верна также для неоднородного поля.

Если поле неоднородно, то результирующая сила F F F , вообще говоря, не

обращается в нуль. В этом случае диполь будет не только поворачивать в электрическом поле, но и втягиваться в область более сильного поля. Общее выражение для силы получать не будем, а проиллюстрируем сказанное примером. Рассмотрим диполь в поле неподвижного точечного заряда Q (рис.4). В данном случае сила, действующая на отрицательный заряд, будет несколько больше, чем сила, действующая на положительный заряд, и поэтому диполь будет притягиваться к точечному заряду. Можно рассчитать величину этой силы:

1.9. Проводники в электрическом поле

Все вещества можно условно разделить на проводники и диэлектрики. В проводниках электрические заряды могут легко перемещаться из одной точки тела в другую, в диэлектриках такой свободы передвижения у зарядов нет. Это различие в свойствах вещества является одним из самых поразительных контрастов природы. Электрическая проводимость, например, металлов превышает электрическую проводимость некоторых диэлектриков (например, стекла) примерно в 1020 раз !

3

В обычных условиях тела электрически нейтральны. Положительные заряды атомных ядер почти полностью скомпенсированы отрицательными зарядами электронов. При электризации тел нарушения такой компенсации ничтожны. Допустим, например, что шарику с радиусом 1 см сообщен заряд Q = 10-7 Кл. Это довольно большой заряд. Между двумя металлическими шариками с такими зарядами Q и –Q будет проскакивать искра в воздухе, если расстояние между шариками меньше нескольких сантиметров. Однако превышение числа протонов над количеством электронов в этом случае ничтожно: заряд только одного из каждых 1014 протонов не скомпенсирован зарядом электрона.

При внесении тела в электрическое поле (на рис. показан проводящий шар в поле точечного заряда) легкие электроны испытывают смещения против поля. Смещения атомных ядер по сравнению с ними пренебрежимо малы. Происходит частичное разделение положительных и отрицательных зарядов. Это явление называется электрической индукцией, а появившиеся в результате разделения заряды - индукционными зарядами. Индукционные заряды могут быть механически отделены друг от друга.

В электролитах, которые также являются проводниками, в электрическом поле происходит смещение положительно и отрицательно заряженных ионов.

Индукционные заряды создают дополнительное электрическое поле, которое накладывается на внешнее поле (поле первичных зарядов).

Поле индукционных зарядов внутри проводника направлено противоположно внешнему полю, следовательно, приводит к ослаблению результирующего поля. Перераспределение носителей заряда в проводнике будет происходить до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю.

Для равновесия зарядов в однородном проводнике необходимо выполнение двух условий:

1) Напряженность поля внутри проводника равна нулю: E 0.

2) Напряженность поля на поверхности проводника направлена по нормали к поверхности.

находится электрический заряд q S . Поток вектора E через основание, расположенное в проводнике, равно нулю, так как поле в проводнике отсутствует. Поток через верхнее основание En S , где En - проекция вектора напряженности на направление нормали. Поток через боковую поверхность пренебрежимо мал. По теореме Гаусса

S En S 0 .

Следовательно,

где n- внешняя нормаль к поверхности проводника.

1

1.10. Поляризация диэлектриков

1. Связанные заряды

Заряды в диэлектрике под действием поля могут смещаться из своих положений равновесия лишь на малые расстояния, порядка атомных. Диэлектрик состоит из электрически нейтральных молекул и под действием приложенного электрического поля «центр тяжести» электронов в молекуле немного смещается относительно «центра тяжести» атомных ядер.

Молекулы становятся электрическими диполями, ориентированными в направлении поля E . В этом случае говорят, что диэлектрик поляризован.

Видно, что на одном конце параллелепипеда из диэлектрика выступают нескомпенсированные положительные заряды, а на противоположном конце - отрицательные поверхностные заряды. Их называют поляризационными или связанными зарядами. Очевидно, что связанные заряды нельзя разделить механически (в отличие от индуцированных зарядов в проводниках).

Нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называют связанными или поляризационными. Связанные заряды входят в состав нейтральных молекул и атомов. Заметим, что связанные заряды могут возникать не только на поверхности, но и в объеме диэлектрика.

Механизм поляризации диэлектриков может быть и иным. Существуют диэлектрики, молекулы которых обладают дипольными моментами уже в отсутствие электрического поля. Такие молекулы называются полярными. Если поля нет, то полярные молекулы совершают хаотические тепловые движения и ориентированы совершенно беспорядочно. При наложении электрического поля дипольные молекулы ориентируются преимущественно в направлении поля. Это и означает, что диэлектрик становится поляризованным.

Конечно, приведенный выше рисунок очень упрощенно отображает поляризацию диэлектрика. В действительности тепловые колебания приводят к случайному «разбросу» ориентации отдельных молекул и поляризация сводится к некоторому небольшому упорядочиванию на этом случайном фоне: в направлении поля суммарный дипольный момент молекул несколько больше, чем в иных направлениях.

2. Сторонние заряды

Помимо электрически нейтральных молекул в диэлектрике могут существовать положительно или отрицательно заряженные ионы. Такие заряды называются сторонними. Они возникают в диэлектрике, например, при электризации трением. К сторонним зарядам относятся также все заряды, находящиеся на проводниках.

Разделение зарядов на связанные и сторонние важно для описания поля в диэлектриках.

2

3. Трудности расчета поля

Электрическое поле в диэлектрике определяется как сторонними, так и связанными зарядами, причем величина и распределение связанных зарядов изначально не известны, а сами зависят от результирующего электрического поля. Это значительно усложняет расчет по-

ля в диэлектриках. В частности, теорема Гаусса для вектора E

Eds qстор qсвяз

S 0

содержит в правой части связанный заряд, который сам нуждается в определении. Эти трудности решаются далее путем введения новых величин и установления новых связей.

4. Вектор поляризации

Для количественного описания поляризации вводят в рассмотрение вектор поляризации. Так называется дипольный момент единицы объема диэлектрика:

P Vpi .

Вектор поляризации - локальная характеристика поляризованного диэлектрика (также как, например, объемная плотность заряда - локальная характеристика заряженного тела).

Вектор P зависит от напряженности электрического поля E . Опыт показывает, что для

обширного класса диэлектриков и широкого класса явлений связь между векторами P и E линейная. Такая закономерность объясняется тем, что напряженности макроскопических электрических полей обычно малы по сравнению с напряженностями микрополей внутри

атомов и молекул. Если среда изотропна, то векторы P и E коллинеарны и можно записать

где - безразмерный коэффициент, называемый поляризуемостью (диэлектрической вос-

приимчивостью) диэлектрика. Он зависит от типа диэлектрика.

5. Теорема Гаусса для вектора P

Поток вектора поляризации P через произвольную замкнутую поверхность равен взятому с обратным знаком связанному заряду диэлектрика в объеме, который охватывается поверхностью S, то есть

Доказательство этой теоремы приведем позже.

6. Вектор электрического смещения (вектор D). Теорема Гаусса для вектора D

Для расчета поля в диэлектрике введем вспомогательный вектор D. По определению

где 1- диэлектрическая проницаемость, зависящая от свойств диэлектрика. Для вакуума 0 и 1.