2 сем экзамен / все лекции

где

Такая пластинка действует как собирающая линза, формируя яркое изображение источника, расположенного на оси пластинки. Из формулы (2) следует знакомая формула линзы:

Например, при r1 0,5 мм и 0,6 мкм из (2) получаем F 42 см.

Можно не терять свет от четных зон. Для этого прикроем их стеклянными кольцами, подобрав их толщину так, чтобы сдвинуть колебания по фазе на :

h(n 1) /2 m , где m = 0,1,2,3,….

Пластинку в этом случае называют фазовой зонной пластиной. Соответствующая векторная диаграмма изображена на рис. 3. Интенсивность в точке наблюдения возрастает примерно в 4 раза по сравнению с зонной пластинкой.

Можно еще сильнее увеличить интенсивность в точке наблюдения, если так отшлифовать кольца, что в пределах каждой зоны фаза будет оставаться постоянной. В этом случае вся спираль развернется в отрезок прямой – и в точке P будет достигнута максимально возможная освещенность. Мы получаем пластинку со сложным профилем. Такая пластинка фокусирует свет и работает как линза. Ее и называют линзой Френеля. Такие линзы достаточно широко применяются.

Если добавить к каждой зоне такую толщину стекла, которая вносит разность хода в целое число длин волн, то можно обеспечить плавные обводы. Мы получим обычную плоско выпуклую линзу, у которой точка P – ее фокус. Оказывается, изображение светящейся точки, даваемое линзой, формируется как результат интерференционного усиления лучей, прошедших от источника к изображению через линзу. Это означает, что все лучи, испущенные источником и попавшие в изображение, имеют одинаковую оптическую длину, то есть затрачивают на распространение одинаковое время.

7

Приближение Фраунгофера. Дифракция на щели.

Дифракцией Фраунгофера называют дифракцию «в параллельных лучах», когда разность фаз колебаний от вторичных волн, исходящих от различных точек рассматриваемого участка волнового фронта, можно найти в предположении параллельности соответствующих лучей. Приближение Фраунгофера справедливо, если экран удален от щели на

достаточно большое расстояние r b2 / , где b - ширина щели. В этом приближении дифракционная картина и ее расчет существенно упрощаются по сравнению с общим случаем.

Рассмотрим интерференцию волн от двух когерентных точечных источников S1 и S2 . d - расстояние между источниками, r1 и r2 - расстояние от источников до точки наблюде-

ния P , в которой волны интерферируют, угол показан на рисунке. Тогда по теореме косинусов

r22 r12 d2 2rd1 cos( /2 ) r12 d2 2rd1 sin ,

r2 r11 dr122 2dr1 sin .

Будем считать, что d r1,r2 и воспользуемся разложением в ряд Тейлора

В этом выражении пренебрежем четвертым и последним слагаемыми, поскольку одно из них пропорционально четвертой, а другое третьей степени малого параметра d /r1:

зе интерференции. В этом случае разность ходя лучей выражается простой формулой r1 r2 dsin ,

означающей, что при вычислении разности хода волн соответствующие лучи можно считать параллельными. Это и есть приближение Фраунгофера. Дифракцию, допускающую

1

рассмотрение в таком приближении, называют дифракцией Фраунгофера. В этом случае разность фаз колебаний от вторичных волн, исходящих от различных точек рассматриваемого участка волнового фронта, можно найти в предположении параллельности соответствующих лучей. Приближение Фраунгофера справедливо, если экран удален от рассматриваемых вторичных источников на достаточно большое расстояние:

r d2 .

В приближении Фраунгофера дифракционная картина и ее расчет существенно упрощаются по сравнению с общим случаем.

Дифракция на щели

Рассмотрим случай нормального падения света с длиной волны на длинную щель ширины b . Найдем распределение интенсивности света на удаленном экране в рам-

ках приближения Фраунгофера, когда расстояние до экрана l b2 / .

Мысленно разобьем щель на множество одинаковых полосок, каждую из которых будем рассматривать как источник вторичных волн. Рассмотрим излучение вторичных источников в направлении, определяемом углом (рис.12).

b

R

Изобразим цепочку соответствующих элементарных векторов – амплитуд колебаний, возбуждаемых каждой полоской. Соседние элементарные векторы повернуты относительно друг друга на малый угол, который определяется разностью хода волн до удаленной точки наблюдения от соседних полосок.

Если угол достаточно мал, то цепочка образует дугу окружности радиуса R (рис. 13). Обозначим длину цепочки A0 , а модуль результирующего вектора (амплитуду

колебаний) A1 . Тогда, как видно из рис. 13,

A0 R ,

A1 2Rsin( /2),

где

2 2 bsin (1)

-разность фаз между крайними векторами цепочки. Заметим, что при вычислении разности хода волн bsin использовано приближение Фраунгофера: прямые, проведенные

2

от краев щели в точку наблюдения на удаленном экране, считаются практически параллельными (рис.11). Исключив R из этих равенств, получим

где I0 - интенсивность в центре дифракционной картины (при 0).

На рис. приведен график зависимости интенсивности от угла дифракции, построенный по формулам (1) и (2).

Минимумы интенсивности.

раз. С помощью (1) получаем условие минимумов

bsin m , m 1, 2,...

I

Условие минимума означает, что разность хода волн, исходящих от крайних точек щели, равна целому числу длин волн.

Этот результат можно получить без всяких вычислений. Допустим сначала, что bsin . Разобьем щель на две части одинаковой ширины. Тогда для каждого источника вторичных волн в правой половине щели найдется источник в левой половине, такой, что разность хода волн от этих источников до точки наблюдения будет равна /2. По-

3

этому при интерференции эти волны погасят друг друга – получится минимум интенсивности (на рис. красными кружками показаны два таких источника). Если bsin m , то щель нужно разбить на 2m частей одинаковой ширины и повторить рассуждения для каждой пары соседних частей.

b

/2

Максимальный порядок минимума, который может наблюдаться, получим из условия

мумов мы видим, тем уже дифракционные максимумы, тем ярче картина. При сужении щели картина расширяется и ее яркость уменьшается. При b освещенность экрана монотонно уменьшается с удалением от центра дифракционной картины.

Максимумы интенсивности.

Между двумя соседними минимумами располагаются максимумы. Чтобы найти их положение, найдем производную от функции (2) и приравняем ее нулю. Получим трансцендентное уравнение

( / 2)cos( /2) sin( / 2).

С приемлемой в большинстве случаев точностью можно считать, что максимумы располагаются посередине между минимумами. Тогда векторные диаграммы для максимумов будут выглядеть, как показано на рисунке.

E0

E1

Рис. 14

Векторные диаграммы для главного и первого бокового максимумов имеют одинаковую длину, поэтому (3/2) E1 E0 , где E0 и E1 - амплитуды колебаний в этих максимумах. Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды колебаний напряженности.

4

Следовательно, I1 (2/3 )2 I0 0,045I0 . Аналогично можно рассчитать интенсивности в следующих боковых максимумах. Например, для второго бокового максимума получим:

В таблице приведены приближенные и точные значения для разности фаз и интенсивности света в боковых максимумах.

Итак, интенсивность в боковых максимумах значительно меньше, чем в центральном, и световая энергия сосредоточена главным образом в пределах центрального максимума, ограниченного углом 2 1, где угол 1 определяет направление на первый минимум.

Его можно найти из формулы bsin 1 . Если b , то 1 /b. Важно, что из-за ди-

фракции за щелью всегда будет получен расходящийся пучок (рис. 15), причем, чем меньше b, тем больше угол расходимости. Параллельных пучков света не бывает – из-за дифракции они всегда расходящиеся.

1 1

Рис. 15

Если пучок проходит путь l , то на этом пути он претерпевает дифракционное расшире-

ние на l 1 lb . Таким расширением можно пренебречь, если оно мало по сравнению с шириной самого пучка b :

l b l b2 b

Только на таких расстояниях пучок может рассматриваться как луч геометрической оптики.

5

Пример 1. Пусть мы имеем дело с лазерным пучком диаметром 2 мм при длине волны 0,6 мкм. Тогда на расстоянии 15 м диаметр пятна станет равным

Пример 2. Направленная антенна радиолокатора. Пусть диаметр антенны 10 м, длина волны 10 см. Тогда на расстоянии 10 км диаметр "луча" равен 200 м.

6

Дифракционная решетка

Дифракционная решетка – важнейший спектральный прибор, предназначенный для разложения света в спектр и измерения длин волн. Она представляет собой плоскую стеклянную или металлическую поверхность, на которой делительной машиной нарезано очень много (до сотен тысяч) прямых равноотстоящих штрихов.

Рассмотрим решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих параллельных щелей, сделанных в непрозрачном экране. Ширину щели обозначим через b, ширину непрозрачной части экрана между двумя соседними щелями – через a. Величина d a b называется периодом решетки. Согласно принципу Гюйгенса Френеля каждую щель при освещении решетки можно рассматривать как источник вторичных волн.

b

Рис. 16

Пусть на решетку перпендикулярно к ее поверхности падает плоская монохроматическая волна. Найдем результат интерференции вторичных волн в некоторой точке P. В рамках приближения Фраунгофера разность хода волн, излучаемых соседними источниками, равна dsin (рис.16). Если

dsin m , m 0, 1, 2,... (1)

то колебания, возбуждаемые в точке P всеми источниками, будут происходить в одинаковых фазах, и амплитуда колебаний в точке P увеличится в N раз, а интенсивность света в N2 раз, по сравнению с соответствующими величинами для одного источника. Таким образом, совокупность источников излучает не одинаково в различных направлениях: интенсивность излучения максимальна в направлениях, определяемых формулой (1).

На удаленном от решетки экране будет наблюдаться совокупность резких интерференционных максимумов. Так как положение максимумов (кроме центрального, соответствующего m = 0) зависит от длины волны, то решетка разлагает белый свет в спектр, чем больше , тем дальше располагается соответствующий максимум от центрального (рис.17, 18). Целое число m называется порядком спектра. Максимальный порядок спектра найдем из условия sin m /d 1. Следовательно, m d /

1

Чтобы найти не только положение максимумов, но и распределение интенсивности, вычислим сумму колебаний в точке P, расположенной под углом . Амплитуды складываемых колебаний обозначим A1 , интенсивности I1 . Разность фаз колебаний, вы-

званных соседними источниками равна

C A1 D

Рис. 19

Построим векторную диаграмму (рис. 19), и рассматривая равнобедренные треугольники OCF и OCD, запишем

A 2Rsin N /2 ,

A1 2Rsin /2 ,

где A - амплитуда результирующих колебаний в точке наблюдения P. Из этих уравнений получим амплитуду A и интенсивность I :

Из формулы (3), в частности, следует условие (1) главных максимумов. Эти максимумы называют также дифракционными. В направлениях главных максимумов интенсив-

ность волны I N2I1 полностью определяется интенсивностью отдельной щели в этом направлении. Если главный максимум окажется вблизи минимума I1( ), определяемого условием bsin m , то этот максимум окажется подавленным (при m 3 на рис.20).

2