2 сем экзамен / все лекции

1

Дисперсия света

1. Дисперсия - зависимость показателя преломления электромагнитных волн от их частоты или от длины волны

n f ( ) или n F( )

Все среды, за исключением абсолютного вакуума обладают дисперсией. Для большинства прозрачных бесцветных веществ зависимость показателя преломления от частоты имеет вид, показанный на рисунке.

n

показательпреломления

1

коэффициент поглощения

0 0

2.Если dn/d 0, то дисперсию называют нормальной, в противном случае – аномальной. При нормальной дисперсии белого света наиболее сильно в призме преломляются фиолетовые лучи. При частотах, соответствующих аномальной дисперсии, происходит сильное поглощение света средой.

3.Дисперсия света возникает в результате вынужденных колебаний заряженных частиц - электронов и ионов - под действием переменного поля электромагнитной волны. Строго говоря, поведение электронов в атоме подчиняется законам квантовой физики. Однако для качественного понимания дисперсии света достаточно ограничиться классическими представлениями, которые, как это ни удивительно, приводят к тем же результатам, что и квантовая теория.

4.Итак, наша задача - объяснить ход зависимости n( ). Из уравнений Максвелла следует, что в изотропной немагнитной среде

n .

Всвою очередь диэлектрическую проницаемость можно найти из соотношения

1 ,

где - диэлектрическая восприимчивость, которая является коэффициентом пропорциональности в соотношении

P 0E ,

где Px - проекция вектора P на ось Х, вдоль которой совершаются колебания вектора E.

Вектор поляризации P равен дипольному моменту единицы объема, поэтому

Px n0 px ,

где n0 – концентрация диполей, px - проекция дипольного момента отдельного диполя.

2

5. В дальнейшем будем рассматривать простейшую модель вещества, состоящего из невзаимодействующих друг с другом атомов. Каждый атом представляет собой ядро, окруженное быстро движущимися электронами, которые в совокупности как бы «размазаны» по сферически симметричной области вокруг ядра. Поэтому принято говорить, что ядро с зарядом q окружено электронным облаком с зарядом (-q).

В отсутствие внешнего поля E центр электронного облака совпадает с ядром, и

дипольный момент атома равен нулю. При наличии внешнего поля E электронное облако смещается относительно практически неподвижного ядра, расположенного при x 0, и

возникает дипольный момент p ql , где l - вектор, проведенный из центра облака к ядру. Проекция вектора p на ось X равна

px qlx q( x) qx,

где x – смещение центра облака из положения равновесия. Заметим, что центр «облака» ведет себя как точечный заряд (-q).

E

q–q

x x

E

q

x

x

0Ex

Как видно задача сводится к определению x(t) под воздействием поля

Ex (t) Em cos t.

Для этого запишем уравнение движения электронного облака mx kx rx qEm cos t ,

где m – масса электронного облака, а справа записаны проекции на ось X квазиупругой силы, силы «сопротивления» и вынуждающей силы ( q)Ex со стороны электромагнитной

волны частоты . Магнитной силой, действующей на электрон, мы пренебрегли, так как скорость электрона значительно меньше скорости света. Приведем уравнение к виду:

На самом деле никаких квазиупругих сил и сил трения в атомах и молекулах нет. Правильная теория дисперсии должна принимать во внимание только реально существующие силы и основываться на квантовых законах. Такую теорию дает квантовая механика. Однако она приводит к поразительному результату, что в отношении дисперсии и поглощения света атомы и молекулы ведут себя так, как если бы среда представляла собой набор осцилляторов с различными собственными частотами и коэффициентами затухания, подчиняющихся классическим уравнениям Ньютона.

Собственные частоты и коэффициенты затухания не могут быть вычислены на основе классической модели. В классической теории на них надо смотреть как на формально введенные постоянные. Вычисление этих постоянных и раскрытие их истинного смысла возможно только в квантовой механике.

6. Мы получили дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Решение для установившихся колебаний имеет вид

x acos( t ).

Подстановка этого решения в уравнение (2) позволяет с помощью метода векторных диаграмм найти значения амплитуды a и разности фаз :

7. Рассмотрим сначала случай, когда затухания нет = 0. Тогда при 0

(такой же результат будет и при 0 , когда = ). Остается подставить (5) в уравнение

(1). В результате получим

где b n0q2 / 0m.

n

1

0 0

Разрыв функции ( ) при 0 не имеет физического смысла. Это получилось

вследствие игнорирования затухания. Если же его учесть, то ход кривой будет иным и достаточно хорошо подтверждается экспериментально.

4

При 0 показатель преломления меньше 1, а это означает, что фазовая скорость

электромагнитной волны оказывается больше c! Подобное имеет место в плазме и для рентгеновского излучения. Никакого противоречия с теорией относительности здесь нет. ТО утверждает, что скорость сигнала (импульса) не может превышать c. Понятие же показателя преломления применимо к монохроматическим волнам, бесконечным в пространстве и во времени. Такие волны не могут служить для передачи сигнала, а кроме того, их в принципе нельзя осуществить.

Заметим, что собственных частот может быть несколько. Соответственно будет несколько областей аномальной дисперсии.

Из выражения (6) вытекает еще одно неожиданное следствие для случая, когда0 0 (например, в плазме). В этом случае при достаточно низких частотах < 0 .

Следовательно, показатель преломления становится мнимым. В этом случае волна не может пройти через среду и происходит ее полное отражение в пограничном слое.

Плазма есть ионизированный газ, в котором электроны и ионы могут рассматриваться как свободные частицы с собственными частотами, равными нулю.

диэлектрическая проницаемость отрицательна, а показатель преломления чисто мнимый. Поэтому такие низкочастотные волны в плазме распространяться не могут. Они проникают в тонкий приповерхностный слой плазмы и испытывают от него полное отражение. Это играет важную роль при осуществлении на Земле дальней радиосвязи.

Поглощение света.

Интенсивность света при прохождении через вещество обычно уменьшается – свет поглощается в веществе. Поглощение света в веществе можно описать с энергетической точки зрения, не вникая в подробности взаимодействия света с атомами вещества.

Пусть через однородное вещество распространяется параллельный световой пучок. Выделим мысленно в этом в этом веществе бесконечно тонкий плоский слой толщины dx. При прохождении этого слоя интенсивность уменьшится. В большинстве случаев изменение интенсивности света dI ~ Idx:

dI Idx,

где - коэффициент поглощения. После интегрирования получим

I I0e x .

Это и есть закон Бугера, сформулированный в 1729 г. Коэффициент поглощения зависит от частоты. Для разреженных газов эта зависимость имеет характер резких пиков в некоторых узких диапазонах длин волн. Эти максимумы соответствуют резонансным

5

частотам колебаний электронов внутри атомов, которые практически не взаимодействуют друг с другом.

Для жидких и твердых веществ зависимость ( ) имеет вид, подобный

изображенному на рисунке, то есть сильное поглощение обнаруживается в достаточно широком интервале длин волн

Заметим, что можно создать такое состояние атомов вещества, при котором коэффициент «поглощения» становится отрицательным, и прохождение света через вещество в таком состоянии сопровождается усилением его интенсивности. Это осуществляется в лазерах.

Групповая скорость

Строго монохроматическая волна, не имеющая ни начала, ни конца во времени – это идеализация. Таких волн в природе нет. Заметим также, что монохроматическая волна

Acos( t kr ) не может нести информацию от передатчика к приемнику, поскольку

каждый период колебаний есть точная копия предыдущего. Чтобы передать информацию с такой волной ее нужно промодулировать, то есть изменить амплитуду, частоту или фазу в соответствии с изменением смыслового сигнала.

Рассмотрим передатчик, который излучает не монохроматическую волну, а сигнал общего вида E(t) f (t). В соответствии с теоремой Фурье для широкого класса функций

f (t) справедливо выражение

f (t) Ak cos( kt k ).

где величины Ak , k и k вычисляются по определенным правилам. Таким образом,

любую волну можно представить в виде суперпозиции монохроматических волн в некотором диапазоне частот.

6

Суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по частотам, называют волновым пакетом. Вид волнового пакета в некоторый момент времени показан на рис. В его пределах монохроматические составляющие усиливают друг друга, вне пакета практически гасят друг друга.

Рассмотрим основные закономерности распространения волновых пакетов.

1)В вакууме все монохроматические волны, образующие пакет, распространяются

содинаковой фазовой скоростью

где k 2 / - волновое число. С такой же скоростью в вакууме распространяется волновой пакет, не изменяя своей формы.

2)В диспергирующей среде (фазовая скорость зависит от частоты или длины волны) волновой пакет расплывается, поскольку скорости его монохроматических составляющих отличаются друг от друга. Понятие скорости такой волны требует уточнения.

3)Если дисперсия достаточно мала, то расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. В этом случае волновому пакету можно приписать скорость u, с которой перемещается его «центр». Эта скорость называется групповой. Далее мы покажем, что групповая скорость определяется формулой

4)В тех случаях, когда групповая скорость имеет смысл (то есть волновой импульс при распространении не расплывается), групповая скорость совпадает со скоростью распространения энергии.

5)В области нормальной дисперсии групповая скорость меньше фазовой, в области аномальной дисперсии групповая скорость больше фазовой.

Выведем формулу (2) на примере суперпозиции двух волн с одинаковыми амплитудами и несколько отличными друг от друга длинами волн и частотами. На рис. показано их относительное расположение в некоторый момент времени, а также результат их суперпозиции.

7

Нас будет интересовать скорость, с которой перемещается координата с максимальной амплитудой – это и будет скорость волнового пакета – групповая скорость. Найдем ее.

Пусть уравнения этих монохроматических волн имеют вид:

E1 Acos( t kx),

E2 Acos ( d )t (k dk)x .

Тогда

E E1 E2 2Acos td 2 xdk cos( t kx).

Это уравнение можно рассматривать как уравнение монохроматической волны, амплитуда которой меняется по закону

A0 2Acos td 2 xdk .

Точки, соответствующие максимуму амплитуды, удовлетворяют уравнению td xdk .

Отсюда

xd t .

dk

Величина в скобках и есть групповая скорость: u ddk .

Выражение для групповой скорости можно представить в ином виде, учитывая, что

/k :

u d( k) k d . dk dk

Так как k 2 / , то dk (2 / 2 )d и

Это так называемая формула Рэлея. В области нормальной дисперсии (d /d 0) групповая скорость оказывается меньше фазовой. В отсутствие дисперсии d /d 0, и

8

групповая скорость совпадает с фазовой. Существует простой графический способ нахождения групповой скорости по кривой ( ). Он показан на рисунке.

В некоторых случаях групповая скорость, вычисленная по формуле u d /dk , оказывается больше скорости света в вакууме. Так будет, например, в области аномальной дисперсии. Это не противоречит СТО, поскольку групповая скорость определяет скорость сигнала лишь тогда, когда волновой импульс в процессе распространения практически не изменяет своей формы. В области аномальной дисперсии это не так.

О спектре сигнала конечной длительности.

Обозначим длительность импульса, то есть интервал времени, в течение которого функция f (t) «достаточно велика», через время t . Этот интервал времени простирается

от момента t 0, когда все монохроматические компоненты импульса в интервале частот от 1 до 2 находятся в фазе, до момента времени t1 , когда все компоненты равномерно

распределены по фазе в пределах от 0 до 2 , то есть:

t t1 ,

где

( 2 1)t1 2 .

Отсюда следует

Соотношение (1) определяет связь между продолжительностью t импульса и полосой частот гармонических компонент, суперпозиция которых образует данный импульс. Это соотношение имеет широкое применение в различных областях физики. Оно не зависит от конкретной формы импульса f (t). Важно лишь, чтобы функция f (t)

действительно представляла собой импульс, то есть была отлична от нуля в течение конечного интервала времени длительностью t . Общее соотношение между интервалом частот /2 и длительностью импульса имеет вид

t 1.

Равенство заменено неравенством, поскольку в момент t 0 не обязательно все спектральные составляющие колеблются в одинаковых фазах.

9