Часть 2 Задача а. Расчёт статически неопределимых систем при изгибе

Расчёт статически неопределимых рам.

1. Для заданной статически неопределимой рамы требуется построить: эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил, возникающих от воздействия внешних нагрузок (P, q, M). Жесткость всех элементов EJ_ос считать одинаковой;

2. Подобрать из условия прочности двутавровое сечение для наиболее нагруженного бруса, [σ]=160МПа;

3. В заданной точке «К» рамы определить горизонтальное перемещение.

Таблица 1-Исходные данные к задаче А(часть 1).

q, кН/м	М, кНм	а, м
12	30	1

Рисунок 14-Исходная схема к задаче А (часть 2).

Данная рама является дважды статически неопределимой. Для разрешения неопределимости я сниму дополнительные связи, разорвав балку и заменив их неизвестными Х₁, а также заменив шарнирно-неподвижную опору на шарнирно-подвижную, с приложением в ней неизвестной силы Х₂.

Рисунок 15-Эквивалентная схема

Построим грузовую эпюру Мр.

Рисунок 16-Грузовая эпюра М_р.

Определить реакции возможно не прибегая к вычислениям:

R_A=X_A= R_В=12 кН.

Построим единичную эпюру силы Х₁.

Рисунок 17-Единичная эпюра М₁

Опорные реакции: Х_А=Y_А= =0,707кН

Пострим единичную эпюру силы Х₂.

Рисунок 18- Единичная эпюра М₂

Опорные реакции: R_А =R_в=0, Н_А=1кН.

Составим систему канонических уравнений:

Найдём неизвестные коэффициенты по правилу Верещагина.

= =

= = =

= =

= =

=

Подставим полученные коэффициенты в исходную систему и найду неизвестные.

Проведя ряд упрощений, и решив систему уравнений, получим следующие решения.

Подставив эти значения в исходную систему, получим следующего вида эпюры для полученных значений (рис. 19).

Рисунок 19-Эпюра моментов М_х1

Опорные реакции в данном случае также можно определить, не прибегая к сложным расчётам, то есть их определение возможно из визуального наблюдения.

R_A=0, R_B=H_В=X₁*sin45º=2,37кН

Рисунок 20-Эпюра моментов М_х2

R_A=R_B=0, H_В=Х₂=1,5кН

Теперь построим эпюру суммарных усилий М_∑ (рис. 21).

Рисунок 21-Эпюра суммарных усилий М_∑.

Проведя деформационную проверку, перемножив эпюры М₁ и М₂ на М_∑, получил результаты этого перемножения не отличающиеся от полученных ранее значений для Х₁ и Х₂ .

Для нахождения перемещения точки необходимо определить максимальный момент на эпюре М_∑. Попутно подберём двутавр.

=> 187,5 см³

Наиболее подходящий двутавр: №20а, имеющий 2030 см⁴, =203 см³.

Для определения горизонтального перемещения приложу в точку «К» единичную силу и построю эпюру изгибающих моментов для неё.

Рисунок 22-Эпюра изгибающих моментов .

Реакции очевидны и без вычислений:

R_A= R_B=0,5кН, H_В=1кН.

Определю горизонтальное перемещение, перемножив эпюру с М_∑.

= =-5,285мм

Задача в. Расчёт подмоторных балок на прочность при колебании

Таблица 2-Исходные данные к задаче А (часть 2).

Q1, Н	r,мм	l,м	ω,с-1	Q, Н	βрез	[Ϭ],МПа
800	0,4	1,9	540	3600	26	50

Рисунок 23 –Исходная схема

Начертим эпюру М_р от действия веса двигателя. Так как система один раз статически неопределима, то построим М₁, приложив единичную силу вместо заменённой опоры.

Рисунок 24 – Эпюры к задаче В.

Составим систему канонических уравнений. Так как неизвестная сила Х₁ всего одна, то уравнение будет одно.

δ₁₁Х₁+Δ_1р=0

Найдём известные коэффициенты:

δ₁₁= = ( )=l³/3EJос

Δ₁= = ( + ))= -

Подставим их в исходное уравнение:

l³*X₁/3*E*Jос-5*Q*l³/48*E*Jос=0 Х₁= Q

Подставим Х₁ в эквивалентную систему и построю эпюру М_∑. Также построю эпюру М₁^к, заменив Q на единичную силу. Для нахождения δ_ст необходимо перемножить М_∑ и М₁^к.

δ_ст= =

Через отношение частот найду ω_с:

ω_в/ω_с=1,2 => ω_с= 540/1,2=450 с^-1

ω_с = =729,3 см⁴ => J’ос=364,65 см⁴

Двутавр №14 Jос=572 см⁴ ,W_х=81,7 см³

Уточняю собственную частоту:

ω¹_с= =399с^-1

ω_в/ω_с=550/399=1,38

1. Проверка на прочность при стационарной работе двигателя

σ_∑=σ_стQ+σ_дин

σ_стQ=М_х/2W_х=(5*Q*l/16)/(2*W_х)=6,9 Мпа

σ_дин=σ_а*β_дин=(5*Q₁*r* ω_в²*l*β_рез)/(16*g*2*W_x*√(1- (ω_в/ω_с)²)²*28²+(ω_в/ω_с)²)= 4,8 Мпа

σ_∑=σ_стQ+σ_дин=6,9 МПа+ 4,8 МПа= 11,7 МПа<[σ], то есть прочность обеспечена.

График изменения суммарных напряжений по времени строится по формуле:

σ_∑=σ_а*sin(ω_вt)

Рисунок 25 –График изменения суммарных напряжений по времени

2. Рассмотрю пусковой режим двигателя. Найду σ_дин для следующих отношений частот:

σ_дин (0,5)=9,3 МПа

σ_дин (0,8)=19,2 МПа

σ_дин (0,9)=36 МПа

σ_дин (0,95)=67,3 МПа

σ_дин (1)=194,5 МПа

σ_дин (1,05)=63,6 МПа

σ_дин (1,1)=32,5 МПа

σ_дин (1,15)=21,4 МПа

График зависимости σ от отношения частот по времени:

Рисунок 26- График зависимости σ от отношения частот по времени.

3. Найду запрещённый интервал оборотов

ω_в^н/ω_с=0,9612 => ω_в^н=0,9612*399=382,52 с^-1

ω_в^н=2 n/60 => n=60* ω_в^н/2 =(60*382,52)/(2*3,14)= 3 662,34 об/мин

ω_в^н/ω_с=1,029 => ω_в^н=1,029*399= 410,57 с^-1

ω_в^н=2 n/60 => n=60* ω_в^н/2 =(60* 410,57)/(2*3,14)= 3 920,66 об/мин

Запрещённый интервал частот:[ 3 662,34 3 920,66] об/мин.