Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Устойчивость центрально сжатого стержня

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2021

Размер:

726.33 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Глава 13 Устойчивость сжатых стержней

13.1 Теоретическая и методическая информация. Примеры

13.1.1 Основные понятия и расчетные формулы

Сжатые стержни часто выходят из строя, становятся непригодными к эксплуатации не из-за разрушения материала, а при значительно меньших нагрузках, при которых происходит переход от устойчивой прямолинейной формы равновесия к неустойчивой прямолинейной или устойчивой криволинейной форме стержня. Величина нагрузки, при которой происходит явление потери устойчивости, называется критической силой Fкр. Ве-

личина критической силы зависит от гибкости стержня :

l ,

imin

где – коэффициент приведенной длины, зависящий от способа закрепления стержня (рис. 13.1);

imin – минимальный радиус инерции поперечного сечения;

Fкр кр A ,кр – критическое напряжение;

A – площадь поперечного сечения сжатого стержня.

Критическое напряжение определяется по-разному, в зависимости от

гибкости стержня:

0 0 ;

кр

или

кр

в ;

;

кр

a b c 2

– формула Ясинского;

пр

пр ;

кр

2 E

; Fкр

2 EI

min

– формула Эйлера;

l 2

a, b, c – коэффициенты в формуле Ясинского, имеющие размерность напряжений и зависящие от прочностных характеристик материала;

0 – гибкость стержня, до которой стержень разрушается при сжатии без признаков потери устойчивости;

т и в – предел текучести и временное сопротивление материала стержня.

323

F	F		F	F
=l		l	=0,7l	0,5=l
l	l	l	l	0,5=l	l
пр			пр
				пр
				l

	l	0,7	0,5
1	=2
	пр
	l

Рис. 13.1

Формулой Эйлера можно пользоваться только при кр пц .

пц – предел пропорциональности материала. Гибкость стержня, соответствующая кр пц , называется предельной,

		E	.
пр
	пц

В таблице 13.1 приведены значения 0 , пр , коэффициенты a, b, c,

модули упругости Е и механические характеристики прочности (пределы пропорциональности пц и текучести т , временное сопротивление в )

для некоторых материалов.

Формула Ясинского применяется для определения критического напряжения при пц кр т – в случае пластичного материала;

пц кр в – в случае хрупкого материала.

324

Т а б л и ц а 13.1

Материал	0	пр	a	b	c	E 10 5	пц	т	в
Материал	0	пр				МПа
						МПа
Ст.2, Ст.3	40	100	267	0,667	0	2	200	240	450
Ст.45	35	85	382	1,2	0	2	280	320	610
Чугун	0	80	780	12	0,056	1,2	180	–	780
Дерево	0	70	40	0,286	0	0,1	20	–	40
(сосна
вдоль волокон)

Расчет на сжатие с учетом устойчивости производится по формулам:

	Nmax		;		,
		y		y
	A

где y – допускаемое напряжение на устойчивость;
– коэффициент понижения основного допускаемого напряжения

( 0 1), зависит от гибкости и от упругих и прочностных

характеристик материала. Чем больше гибкость стержня, тем меньше коэффициент .

Коэффициент в зависимости от гибкости стержня и материала определяется по таблице, приведенной в приложении 4.

Для подбора сечения A сжатого стержня надо знать y , а значит и коэффициент , но в свою очередь зависит от геометрических разме-

ров стержня, в том числе и от формы и размеров площади сечения. Поэтому задачу по подбору сечений сжатых стержней решают методом последовательных приближений.

Рациональная форма поперечного сечения сжатого стержня определяется условием, чтобы гибкость стержня max была как можно меньше при минимальном расходе материала. Кроме того, гибкости стержня в разных плоскостях должны быть одинаковыми, т. е. max min .

13.1.2 Критическая и допускаемая нагрузки для сжатых стержней

Пример 13.1.1. Определить критическую силу, допускаемую нагрузку и коэффициент запаса устойчивости для стойки, изображенной на рисунке 13.2. Поперечное сечение – два швеллера № 20, длина l = 7,5 м, основное допускаемое напряжение по условию прочности 160 МПа. Определить

шаг поперечных связей между швеллерами, устанавливаемых для обеспечения совместной работы обеих ветвей сечения.

325

а = 310 МПа; b = 1,14 МПа;

Решение.
Определим максимальную гибкость стойки:				F
Определим максимальную гибкость стойки:
		l
	max		.


		imin
		imin

В данном случае коэффициент приведенной дли-

ны 0,7.

Найдем моменты инерции сечения Ix и Iy:
Ix 2Ixш ;	I y 2	I yш Aшa2	;
a b z0 ;		A 2Aш ;

из сортамента для швеллера № 20:

I	xш	1520 см4	;	I	yш	113 см4	;
	xш				yш

b 76	мм ;		z 2,07 см ;			A 23,4 см2 ;
			0			ш
		I x 2 1520 3040 см4;							y0	y
I y 2 [113 23,4 7,6 2,07 2 ] 1657,2 см4;
				I y	Ix ;			z		х
				I y	Ix ;			z	0
									0
imin iy		I y / A		1657,2 / 2 23,4 5,95			см;		а	в
imin iy		I y / A		1657,2 / 2 23,4 5,95			см;			b
		max	l		0,7 750	88,2 .			Рис. 13.2
		max	imin		5,95	88,2 .
			imin		5,95

Для стали пр 100 ; 0 60 .

Так как 60 max 100, то для определения критического напряжения необходимо воспользоваться формулой Ясинского:

Fкр A a b max , где

Fкр 2 23, 4 310 1,14 88, 2 103 10 4 980 кН.

Определяем допускаемую нагрузку:

F A.

По таблице в приложении 4 путем интерполяции находим коэффициент снижения основного допускаемого напряжения :

1 80 ; 1 0,752 90 ; 2 0,69 ;

при max 88,2

326

	1	2		0,75			0,06	8,2 0,701.

1	2		max	1
		1				10
Тогда F A 0,701 160 103 2 23, 4 10 4								524,8 кН.
Коэффициент запаса устойчивости
			Fкр	980
		n				1,87 .
			F		524,8

Расчет произведен из условия, что сечение из двух швеллеров работает как единое целое. Связи между швеллерами надо разместить так, что-

бы обеспечить равную гибкость отдельной ветви (одного швеллера) в и всего стержня в целом (рис. 13.3):

Fкр

в max ;

вl1

imin,в

где l1 – расстояние между связями;

в – коэффициент приведенной длины

одной ветви; можно принять в = 1;

imin,в – минимальный радиус инерции

одной ветви сечения.

В нашем случае из сортамента для

швеллера №20:

imin,в iy 2,20 см;

max imin,в

88, 2 2, 20

194 см.

Следовательно,

рассчитываемой

Рис. 13.3

стойке можно поставить по длине четыре

поперечные связи на равном расстоянии друг от друга:

l	l		750	187,5 см < 194 см.

1	4	4

Пример 13.1.2. Для заданной стойки (рис. 13.4) найти величины критической силы Fкр, допускаемой нагрузки F , коэффициента запаса ус-

тойчивости n FFкр .

l = 5 м; b = 15 см; = 10 МПа; E 0,1 105 МПа.

327

F			Решение. Сечение имеет ось симметрии x; ось y
F			Решение. Сечение имеет ось симметрии x; ось y
		перпендикулярна к оси x и проходит через центр тяже-
		перпендикулярна к оси x и проходит через центр тяже-
		сти сечения; x, y – главные оси инерции сечения. Нахо-


		дим положение центра тяжести сечения по отношению к
		оси x0 (рис. 13.5):
		y	Ai yci	30 15 15 15 15 7,5		12,5 см.
		y	Ai yci			12,5 см.
	l	c	Ai	30 15 15 15
	l		Ai	30 15 15 15
			Главные центральные моменты инерции относи-
		тельно осей x, y найдем, представив сечение в виде раз-
		ности двух квадратов АВСD и EFCG:
			для АВСD I I	I I	2b 4 67500 см4;


			x	y1	12
					12

		Дерево	для EFСG I xII I yII2			b	4
b							4218,75 см4;
b				b yc		12
х	b	b y	a		15 12,5			3,54 см;
			1	cos 45		cos 45

Рис. 13.4

b cos 45 3,54 15 cos 45 14,14 см;

I I

I II

2b 4

5b4

63281,25 см4;

I I

I II I I

AIa2

I II

AIIa2

67500 30 30 3,542 4218,75 15 15 14,142

21480,84 см4;

A AI AII 302 152 675см2;

I y

21481

5,64 см;

min

675

1 500

88,6.

max

imin

5,64

Согласно данным таблицы 13.1,

max

88,6 пр

(для дерева).

Следовательно,

кр и Fкр найдем по формуле Эйлера:

2 E

0,1 105

кр

2max

88,62

12,56 МПа;

кр

675 10 4 12,56 103 848 кН.

кр

328

			а 1
			а 2		F	C
					F	C
		b	В
		b
					Е	G
		b						yС
						D		yС
						D
								х0
			К					y2
			х	b	b		y	y1
			х	b	b		y
					Рис. 13.5
Найдем допускаемую нагрузку F A. По таблице (прил. 4)
путем интерполяции получаем при 88,6 :
1	80;	1	0,38		0,38		0,38 0,31		8,6 0,3198	,
2	90;	2	0,31		0,38			10	8,6 0,3198	,
2	90;	2	0,31					10
тогда
	F 0,3198 10 103 675 10 4							215,87 кН.
Коэффициент запаса устойчивости
				Fкр	848
			n	F	215,87 3,93 .
	13.1.3		Подбор сечения сжатых стержней
Пример 13.1.3. Подобрать двутавровое сечение сжатой стойки, изо-
браженной на рисунке 13.6.
F = 170 кН; l = 2 м; = 160 МПа.
Решение.		Условие устойчивости				F / A решается				при
подборе сечения, как уже отмечалось выше, методом последовательных
приближений.
Первый подбор: так как может изменяться от 0 до 1, то зададимся
первым значением 1 =0,5. Тогда
										329

A	F			170 104			21, 25 см2.

1	1		0,5 160 103

Принимаем двутавр № 18: A = 23,4 см2; Iy = 82,6 см4; iy = 1,88 см.
Определим гибкость стержня:
		l			2 200	212,8 .

	max	imin		1,88

Как видно из таблицы в приложении 4, такой большой гибкости в ней нет, т. е. при этом слишком мало.

Принимаем новое значение . Второй подбор: 1 =0,35;

A		F		170 10		30,35 см2.
A	2					30,35 см2.
2				0,35 160
				0,35 160
Принимаем двутавр № 22: A = 30,6 см2; Iy = 157 см4;
iy = 2,27 см.			l		2 200
			l		2 200	176,2 ;
	max		imin			176,2 ;
	max			2,27
				2,27

по таблицам определяем коэффициент :

170	0, 26	3	0,26	0, 26 0, 23	6,2 0,214 .

180	0,23			10

Допускаемое напряжение на устойчивость

y 3 0,214 160 38,62 МПа.

Действующее напряжение

	F	170 10 3	55,55 МПа >	.
д		30,6 10 4
	A		y

Перенапряжение велико, сечение следует увеличить. Третий подбор: примем двутавр № 27:

A = 40,2 см2; Iy = 260 см4; iy = 2,54 см.

Вычисляем гибкость:

2 200 157,5 .

max	2,54

По таблицам этой гибкости соответствует коэффициент 4 :

Рис. 13.6

330

150		0,32			4 0,32		0,03	7,5 0,298 .
160		0,29
							10

Действующее напряжение сравним с допускаемым на устойчивость:
y			4 0,298 160 47,6 МПа ;
				F	170 10	42, 29 МПа <			.
	д
				A	40, 2			y

Недонапряжение 11,2% – используя сортамент ГОСТ 8239-89 большего приближения достигнуть нельзя.

		F
l
y0	y	b
y0	y
		h
а		а

Рис. 13.7

Пример 13.1.4. Подобрать сечение стойки, составленной из трех брусков, защемленной обоими концами (рис. 13.7). F = 80 кН; l = 5 м; материал стойки – дерево; = 10 МПа; соотношение сто-

рон брусков h/b = 5. Определить расстояние а, на котором целесообразно расположить бруски.

Решение.

Брусья надо расположить так, чтобы Ix = Iy.

Тогда

bh3

0,25b 5b 3 31,25b4 ;

A 3bh 15b2 ;

31, 25b4

1, 443b .

15b2

Первый подбор: задаемся 1 =0,5;

80 10

160 см2;

0,5 10

b1 15A1 16015 3,27 см;

ix1 1,443b1 1,443 3,27 4,71 см.

Определяем гибкость:

1 l 0,5 500 53,08 . ix1 4,71

331

По таблицам находим 2 , соответствующее 1 :

50	0,80					2			0,80								0,80 0,71				3,08 0,772 .
																	0,80 0,71
60	0,71
60	0,71																	10
Допускаемое напряжение на устойчивость
	y 2 0,772 10 7,72 МПа
сравниваем с действующим:
						F			80 10							5 МПа <						.
		д														5 МПа <						.
		д				A				160											y
						A				160
Получили большое недонапряжение.
Второй подбор: принимаем														3	2			1 0,635 ;
														3				2
																		2
	A					F								80 10						126 см2;
	A			3																126 см2;
	2											0,635 10
												0,635 10

		b						A2							126			2,9 см;
		b																2,9 см;
			2		15										15
					15										15
	ix2 1,443b2										1,443 2,9 4,18 см.
Находим гибкость:
					l								0,5 500						59,78 .
			2		l														59,78 .
			2				ix2								4,18
							ix2								4,18

Этой гибкости по таблицам соответствует 4 :


50	0,80		4	0,80		0,80 0,71		9,78 0,712 .
						0,80 0,71
60	0,71
60	0,71				10
Допускаемое напряжение на устойчивость
		y 4 0,712 10 7,12 МПа .
Действующее напряжение
				F	80 10		6,35 МПа <		.
		д					6,35 МПа <		.
		д		A	126			y
				A	126

Получили недонапряжение, продолжим подбор сечения.

Третий подбор: принимаем	5	4 3	0,674 ;
	5	2
		2

332

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.09.2021664.88 Кб1Таблица лр6.pdf
#
07.09.2021194.44 Кб0Таблица лр7.docx
#
07.09.2021739.81 Кб0Таблица лр7.pdf
#
07.09.2021595.48 Кб1ТЗ-3_СЖД-804 (ГСД на цилиндрические поверхности) (1).pdf
#
07.09.2021416.15 Кб4УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ.pdf
#
07.09.2021726.33 Кб2Устойчивость центрально сжатого стержня.pdf
#
11.07.202017.21 Кб1Штангельциркуль.docx