Устойчивость центрально сжатого стержня

По таблицам находим 6 :

ния можно прекратить и принять его в виде трех брусков с размерами 2,8014,10 см каждый.

Определяем оптимальное расстояние между осями брусков из условия равенства главных центральных моментов инерции I x I y :

a b3 2,8 3 4,87 см.

Определим шаг поперечных связей для скрепления брусков между собой. Для этого надо обеспечить равенство гибкости одной ветви и всего

стержня: в .

61,57 b 61,57 2,81

l1 50 см.

12 12

Скрепления по высоте надо поставить с шагом 50 см.

13.1.4 Выбор наиболее рациональной формы сечения сжатого стержня

333

Пример 13.1.5. В примере 13.1.4 бруски в сечении были размещены параллельно. Было найдено расстояние между ними, при котором обеспе-

чивается условие I x I y , т. е. эллипс инерции обращается в окружность.

Зададимся вопросом: нельзя ли те же три бруска разместить в сечении както иначе и тем самым повысить несущую способность сжатого стержня?

Примем условие, что бруски должны соприкасаться друг с другом сторонами или точками для возможности обеспечения их совместной работы. Исследуем этот вопрос.

Решение. Чтобы повысить устойчивость стержня, его несущую способность, надо уменьшить его гибкость, а этого можно достичь увеличением минимального радиуса инерции поперечного сечения. Если не менять размеры брусков, подобранных в примере 13.1.4, то наиболее рациональ-

ным их расположением будет такое, при котором станет возможно больше. Рассмотрим различные варианты сечений, которые можно составить из трех прямоугольников. Они изображены на рисунке 13.8. Оси x и y

– главные центральные.

Рис. 13.8

Сосчитаем Imin для каждого из вариантов сечения, учитывая, что h/b = 5:

а) I y,a h 3b 3 2, 25hb3 11, 25b4 ; 12

334

Подсчеты показали, что рассмотренные варианты формы сечений размещаются в порядке возрастания их эффективности следующим обра-

зом (табл. 13.2).

Т а б л и ц а 13.2

335

В рациональном поперечном сечении сжатого стержня материал должен быть по возможности удален от центра тяжести всего сечения. При конструировании вариантов поперечного сечения сжатого стержня из одинаковых элементов, например прямоугольников, двутавров, швеллеров, уголков и т. д., часто получаются центрально-симметричные циклические фигуры (рис. 13.9). Для таких и подобных им сечений, составленных из трех и более элементов, эллипс инерции оказывается кругом, а любая ось, проведенная через центр тяжести всего сечения, – главной центральной осью инерции.

336

Подсчет главного центрального осевого момента инерции сечения любого из таких центрально-симметричных сечений может быть произведен по сравнительно простой зависимости, вывод которой приведен в [21]:

Ix 0,5n [Ix0 I y0 A0 a2 с2 ] ,

где n – число одинаковых элементов, из которых составлено центральносимметричное сечение;

A0 – площадь сечения одного составляющего элемента сечения (прямоугольника, швеллера, двутавра, уголка, треугольника и т. д.);

x0, y0 – оси, проведенные через центр тяжести составляющего элемента сечения (например, параллельно его сторонам);

337

Ix0, Iy0 – осевые моменты инерции относительно осей го элемента;

a – кратчайшее расстояние (по перпендикуляру) от центра тяжести всего сечения до оси x0, проходящей через центр тяжести составляющего элемента;

с – кратчайшее расстояние от центра тяжести отдельного элемента сечения до упомянутого выше перпендикуляра к оси x0, вдоль которого измерялась координата а (рис. 13.9, е, з). Если центр тяжести составляющего элемента лежит на упомянутом перпендикуляре, то с = 0 (рис. 13.9, а, б, в, г, д, ж).

Если ось i является осью симметрии составляющей фигуры, то с = 0. Так как Ix0 + Iy0 = const есть первый инвариант моментов инерции при повороте осей, то эту сумму можно находить как сумму осевых моментов инерции составляющей фигуры относительно любых взаимно ортогональных осей (не обязательно x0, y0), проходящих через центр тяжести элемента.

338