2.7. Закон збереження повної механічної енергії

2.7.1. З одного боку, робота, яку виконують зовнішні консервативні сили, дорівнює мінус зміні потенціальної енергії матеріальної точки (див. ф. (2.16)):

А_конс = U₁ – U₂ . (2.17)

З іншого боку, якщо не діють неконсервативні сили, ця робота дорівнює зміні кінетичної енергії матеріальної точки (див. ф. (2.10)):

А_конс  = T₂ – T₁ . (2.18)

Тож, прирівнюючи праві частини виразів (2.17) і (2.18) та перегруповуючи доданки, отримаємо:

T₂ + U₂ = T₁ + U₁ .

Отже, величина Е= T + U зберігається, якщо на матеріальну точку діють лише консервативні сили.

Величину Е, яка дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергій частинки, називають повною механічною енергією:

E=T+U.

2.7.2. Закон збереження повної механічної енергії: Повна механічна енергія матеріальної точки зберігається, якщо на матеріальну точку діють лише консервативні сили:

Е = const.

2.7.3. Приклад. Перевіримо закон для вільно падаючих тіл у полі тяжіння землі. Продиференцюємо вираз для кінетичної енергії і зробимо деякі перетворення:

.

Отже, ми отримали, що похідна за часом від кінетичної енергії дорівнює з протилежним знаком похідній від потенціальної енергії:

. (2.19)

Згадаємо, що похідна за часом від будь-якої величини є швидкістю зміни цієї величини. Тому швидкість збільшення кінетичної енергії дорівнює швидкості зменшення потенціальної енергії. Або, якщо помножимо ліву і праву частини виразу (2.19) на елементарний час dt, і по інтегруємо від початкового до кінцевого моменту часу, то отримаємо, що зміна потенціальної енергії U дорівнює зміні кінетичної енергії (з протилежним знаком), тобто:

Δ ΔT.

Отже, закон збереження повної механічної енергії для тіл, які падають вільно у полі тяжіння Землі виконується.

2.7.4. Закон збереження повної механічної енергії для механічної системи: повна механічна енергія системи тіл, на які діють лише консервативні сили, залишається постійною:

Е = T+U_вз+U_зов = сonst,

де Т – сума кінетичних енергій усіх тіл, U_вз – потенціальна енергія взаємодії всередині системи, U_зов – сума потенціальних енергій усіх тіл у зовнішньому полі сил. Закон виконується і для систем, які складаються із тіл, які не можна вважати матеріальними точками.

2.7.5. Робота неконсервативних сил. Розглянемо загальний випадок, коли на матеріальну точку діють як консервативні, так і неконсервативні сили:

. (2.20)

Загальна робота консервативних і неконсервативних сил є зміною кінетичної енергії (див. ф. (2.10)):

. (2.21)

З іншого боку, обчислимо цю роботу, використавши вираз (2.20):

 = А_консер+А_{неконсер} . (2.22)

Об’єднуючи вирази (2.21) і (2.22), а також врахувавши, що  = U₁ – U₂ , маємо

У

Т₂ – Т₁ =  U₁ – U₂ +А_{неконсер} ,

звідки

= .

Отже, робота неконсервативних сил дорівнює зміні повної механічної енергії:

.

Приклад неконсервативної сили – сила тертя.