Электрическая емкость уединенного проводника

Уединенным называется проводник, вблизи которого нет других заряжен­ных тел, которые могли бы повлиять на распределение зарядов дан­ного проводника.

При сообщении уединенному проводнику некоторого количества электричества, заряды распределяются по его поверхности с различной поверхностной плотностью заряда σ, причем характер распределения зависит только от формы проводника. Каждая новая часть зарядов распределяется по поверхности проводника подобно предыдущей. Таким образом, σ = kq, где к – некоторая функция координат рассматриваемой поверхности. Разобьем всю поверхность проводника S на бесконечно малые элементы dS. Тогда , или, интегрируя по замкнутой поверхности S: .

Этот интеграл зависит только от размеров и формы поверхности проводника S, а также от диэлектрической проницаемости среды ε. Отсюда видно, что φ прямо пропорционально q. Отношение для данного проводника называется электрической емкостью.

Отношение величины заряда, который надо сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на 1В - есть величина постоянная, называемая электроемкостью С, где C= . .

Взаимная электроемкость. Конденсаторы

Пусть вблизи заряженного проводника А нахо­дятся незаряженные проводни­ки или диэлектрики. Под действием поля проводника А в телах 1 и 2 возни­кают индуцированные (если 1 и 2 проводники) или свя­занные (если диэлектрики) заряды, причем ближе к А будут располагаться заряды противоположного знака (рис.). Индуцированные (или связанные) заряды соз­дают свое поле и потенциал на поверхности проводника, причем противоположного знака, чем ослабляют потенциал проводника А, уменьшая его и увеличи­вая его электроемкость.

Рис. 1.13.

Взаимная электроемкость двух проводников численно равна заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой, чтобы изменить разность потенциалов между ними на единицу потенциала.

С= .

На практике существует потребность в устройствах, которые при относитель­но небольшом потенциале накапливали (конденсировали) бы на себе заметные по вели­чине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, поло­жен тот факт, что емкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Простейший плоский конденсатор состоит из двух близко расположенных про­водников, заряженных равными по величине и противоположными по знаку заряда­ми. Образующие данную систему проводники называются обкладка­ми.

Для того, чтобы поле, создаваемое заряженны­ми обкладками, было полностью сосредоточено внутри конденсатора, обкладки должны быть в виде двух близко рас­положенных пластин, или коаксиаль­ных цилиндров, или концентрических сфер. Со­ответ­ственно конденсаторы называются плоскими, цилиндрическими или сфериче­скими.

1. Найдем емкость шарового конденсатора.

Рис. 1.14.

Пусть заряд шара радиуса R₁ равен q. Вне конденсатора поля, создаваемые внешней и внутренней обкладками конденсатора, взаимно уничтожаются. Поле между обкладками создается только зарядом шара радиуса R₁, так как заряд сферы радиуса R₂ внутри этой сферы не создает электростатического поля (на внутренних поверхностях замкнутых полых проводников избыточные заряды отсутствуют).

Тогда разность потенциалов ∆φ = φ₁ – φ₂=

Емкость конденсатора С= =

Если толщина зазора между обкладками d = R₂ – R₁ мала по сравнению с R₂ и R₁, то площади обкладок почти одинаковы

S = 4πR₁² = 4πR₂²= 4πR₁R₂. Тогда С= .

2. Емкость плоского конденсатора

Поле между обкладками конденсатора почти всюду однородно, если d много меньше линейных размеров обкладок конденсатора. Ранее было показано, что для поля, создаваемого двумя противоположно заряженными пластинами, Е = . Разность потенциалов между обкладками конденсатора ∆φ = Е∙d = . q= σ∙S . Тогда емкость:

C= , C = .Краевые эффекты мы не учитываем.

Конденсатор характеризуется не только электроемкостью, но и так называемым «пробивным напряжением» – разностью потенциалов, при которой может произойти пробой, то есть электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Это может произойти в очень сильных полях (порядка Е_пр10⁷ В/м). Это «пробивное напряжение» зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

Для получения устройств различной электроемкости конденсаторы соединяют парал­лельно и после­довательно.

Параллельное соединение конденсаторов (Рис.). В данном случае соединенные провода-проводники имеют один и тот же потенциал, и разность потенциалов на обкладках всех конденсаторов оди­накова и равна =U₁=U₂=….=U_n . Заряды конденсаторов будут соответственно равны:

, … , .

Рис. 1.15.

Заряд, запасенный всей батареей . Отсюда видно, что полная емкость системы из параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей всех конденсаторов.

Последовательное соединение конденсаторов (Рис. 1.16). В данном случае, вследствие явления электростатической индукции, заряды на всех обкладках q будут равны по мо­дулю, а общая разность потенциалов складывается из разностей на отдельных конденсаторах:

. Так как , то .

Отсюда .

Рис. 1.16.

Заключение. Таким образом, в данной лекции мы рассмотрели закон взаимодействия зарядов, основные характеристики электростатического поля, а также основные принципы поведения проводников в электростатическом поле и применение систем проводников в технике.