Расчет интерференционной картины.

Пусть в некоторую точку А одновременно приходят две световые волны от когерентных источников света S₁ и S₂, свето­вые векторы которых колеблются в одной плоскости (рис. 3.2.1).

Рис. 3.2.1.

Пусть источники начинают излучать одновременно, а амплитуды волн равны. Тогда уравнения волн можно записать следующим образом:

где α₁ и α₂зависят от начальной фазы φ₁ и φ₂ и расстояний х₁ и х₂.

Складывая эти выражения, можно доказать, что результирующая величина Е_р в точке А будет равна:

Е_р=Е₁ +Е₂= .

ВеличинаE_0р= не зависит от времени и является ам­плитудой суммарного колебания в точке А. Амплитуда равна нулю, если: , ∆α = α2 – α1 =± (2m+1)π.

Тогда разность хода этих волн, которая определяет положение этих точек в пространстве: ,

где m = 0, 1, 2…. - любое целое число, которое называется порядком интерференции, а означает нечетное число. х₁ и х₂ – геометрические пути световых волн от источников света S₁и S₂ соответственно, до произвольной точки А (рис. 3.2.1).

Таким образом, если в произвольной точке пространства разность фаз волн равна нечетному числу π, а оптическая разность хода накладываемых волн равна нечетному числу полуволн, то в ней наблюдается минимум интерференции. Условия:

есть условия интерференционного минимума.

Если , что возможно приаргументе косинуса или _, то амплитуда светового вектора для данной точки будет в любой момент времени равна 2Е₀. Определим положение этих точек: .

Таким образом, если в произвольной точке пространства разность фаз волн равна четному числу π ,а оптическая разность хода накладываемых волн равна четному числу полуволн или целому числу длин волн, то в ней наблюдается максимум интерференции. Условия: есть усло­вия интерференционного максимума.

Если амплитудные значения светового вектора не равны друг другу, т.е. Е₀₁ ≠ Е₀₂, то квадрат результирующей амплитуды определяется по формуле: Е²= Е₀₁² + Е₀₂² + 2Е₀₁Е₀₂cos (α₂ – α₁),

где (α₂ – α₁) – разность фаз колебаний. Поскольку интенсив­ность света I пропорциональна квадрату амплитудного значения Е, то .

В точках пространства, где cos(α₂ – α₁)> 0, результирующая интенсивность I>I₁ + I₂. Если cos(α₂ – α₁)<0, то результир. интенсивность I<I₁ + I₂. Та­ким образом, мы наблюдаем перераспределение интенсивности и интерференционную картину.

Метод Юнга. Получение интерференционной картины. Как уже отмечалось, когерентных источников света в природе не существует. Однако когерентные световые волны можно получить, если свет, идущий от одного источника, разде­лить на две (или более) части и затем заставить их встретиться. Так как лучи будут получены из одного, то они будут когерентными и при наложении будут интерфериро­вать. Такое разделение может быть осуществлено с помощью экранов и щелей (метод Юнга), зеркал Френеля и преломляющих бипризм Френеля.

В начале 19 века (1803г.) английский физик Юнг с помощью двух ще­лей получил на экране интерференционную картину. Его опыт заключался в следующем: источником света служила ярко ос­вещенная щель S, от которой световая волна падала на две узкие равноудаленные щели S₁ и S₂, параллельные S (рис. 3.2.2.а). Щели S₁ и S₂ можно считать когерентными источниками света, а все три упомянутые щели можно рассматривать как точечные ис­точники, свет от которых распространяется во всех направле­ниях. Волны, идущие от S₁ и S₂, накладываясь друг на друга, ин­терферируют. Интерференционная картина наблюдается на эк­ране Э (рис. 3.2.2.б,в).

Рис.3.2.2

Обозначим расстояние между щелями S₁ и S₂ равным d, а между щелями и экраном - L, причем L » d(рис. 3.2.2 а). Точка О – центр экрана, она расположена симметрично относительно ще­лей S₁ и S₂. Результат интерференции волн в произвольной точке экрана М, находящейся на расстоянии х от его центра О, должен определяться разностью хода Δl= l₂- l₁. Математический расчет дает для разности хода Δl = хd/L. В тех местах экрана, ко­торые удовлетворяют условию , (рис. 3.2.2 а, в) образуется интерференционный максимум. Отсюда

В тех местах экрана, где , (рис. 3.2.2 а, в) волны “га­сят” друг друга и образуется интерференционный минимум. От­сюда .

Шириной интерференционной полосы Δх называется рас­стояние между соседними максимумами или минимумами

.

Величина Δх постоянна при заданных d, L и λи не зависит от порядка интерференции m. Таким образом, при освещении щелей монохроматическим светом на экране наблюдается чере­дование светлых и темных полос одинаковой ширины (рис.3.2.2. б). Чтобы полосы были хорошо различимы, Δх должна быть по­рядка 5 мм, тогда при λ = 500 нм отношение L/d равно 10000, т.е. выполняется условие L » d.

При освещении щелей белым светом интерференционные максимумы становятся радужными. Это происходит из-за того, что положение интерференционного максимума зависит от длины волны падающего света, а белый свет содержит в себе все цвета спектра. Максимумы коротких длин волн (фиолетовых) будут располагаться ближе к центру экрана, за ними следуют максимумы синих длин волн и т.д. до самых длинных красных (рис. 3.2.2.в). В середине экрана при m = 0 максимумы всех волн совпадут из-за отсутствия разности хода и получится белая по­лоса.

На рис.3.2.2.г) представлена не расчетная, а реальная картина зависимости интенсивности света от координаты х на экране для монохроматического света. При переходе от центра экрана к его краям интенсивность уменьшается, так как сказывается не когерентность различных точечных излучателей щелей S₁ и S₂, что приводит к размытости положений максимумов.