Анализ линейных электрических цепей постоянного тока
.pdf
Расчет баланса мощностей в Mathcad показан на рисунке 6.5.
2) Баланс мощностей |
|
Pist := E2 I2 + E3 I3 + E1 I1 |
Pist = 370.703 Вт |
Ppotr := (I1)2 (R1 + R7) + (I2)2 (R2) + (I3)2 (R3 + R8) + (I4)2 R4 + (I5)2 R5 + (I6)2 R6
Ppotr = 370.703 Вт
Вывод: баланс мощностей сошелся, следовательно токи рассчитаны верно.
Рисунок 6.5 – Расчет баланса мощностей в Mathcad
6.2 Расчет токов методом контурных токов
Число уравнений для расчета токов ветвей по методу контурных токов равно числу уравнений по второму закону Кирхгофа. Следовательно, для рассматриваемой схемы по МКТ нужно составить три уравнения.
Выберем независимые контуры ячейки и зададимся в них произвольно направлениями контурных токов Iк1, Iк2, Iк3 (в рассматриваемой схеме направления всех контурных токов взяты по по часовой стрелке).
Для каждого контура составим уравнение по второму закону Кирхгофа
(направление обхода контуров совпадает с направлением контурного тока). При этом алгебраическая сумма падений напряжений в каждом контуре будет складываться из
-падений напряжений на всех сопротивлениях контура от собственного контурного тока;
-падений напряжений на сопротивлениях смежных ветвях от токов соседних контуров.
Система по МКТ имеет следующий вид:
|
I к1 |
+ R12 I к2 |
+ R13 I к3 |
= Eк1 |
|
||||||
R11 |
(6.5) |
||||||||||
R21 I к1 + R22 |
I к2 + R23 |
I к3 |
= Eк2 . |
||||||||
R I |
к1 |
+ R I |
к2 |
+ R I |
к3 |
= E |
к3 |
|
|||
31 |
|
32 |
|
33 |
|
|
|
||||
61
Рассчитаем коэффициенты системы:
- собственное сопротивление первого контура (равно сумме всех сопротивлений, входящих в контур 1):
R11 = R7 + R1 + R3 + R8 + R5 ;
- собственное сопротивление второго контура (равно сумме всех сопротивлений, входящих в контур 2):
R22 = R8 + R3 + R2 + R6 ;
- собственное сопротивление третьего контура (равно сумме всех сопротивлений, входящих в контур 3):
R33 = R4 + R5 + R6 ;
- сопротивление смежной ветви между контурами 1 и 2:
R12 = R21 = −( R3 + R8 );
- сопротивление смежной ветви между контурами 2 и 3:
R23 = R32 = − R6 ;
- сопротивление смежной ветви между контурами 1 и 3:
R13 = R31 = − R5 ;
(так как контурные токи соседних контуров в смежных ветвях направлены в разные стороны (рисунок 6.6), сопротивления смежных ветвей будут со знаком минус)
Iк1
Iк3 |
Iк2 |
Рисунок 6.6 – Определение знака сопротивления смежной ветви
62
Контурные ЭДС в правой части системы уравнений (6.5) равны алгебраической сумме всех ЭДС, входящих в контур , при этом при суммировании ЭДС берутся со знаком (+), если они совпадают с направлением обхода и со знаком (-), если не совпадают.
Eк1 = E1 − E3 ; |
Eк2 = E2 + E3 ; |
Eк3 = 0. |
После расчета всех коэффициентов решаем |
систему уравнений (6.5) |
|
любым методом и находим контурные токи Iк1 , Iк2 и Iк3.
Затем находятся искомые токи ветвей. По внешним ветвям течет по одному контурному току, направления токов ветвей совпадают с
направлениями протекающих по ним контурных токов. Поэтому
I1 = I к1 ; I 2 = I к2 ; I 4 = I к3 .
По смежным ветвям протекают по два контурных тока, если направление контурного тока совпадает с направлением искомого тока, то контурный ток берется в формуле со знаком (+), если не совпадает – со знаком (-):
I 3 = − I к1 + I к2 ; I 5 = I к3 − I к1 ; I 6 = I к2 − I к3 .
Расчет токов методом контурных токов в системе Mathcad показан на рисунках 6.7 и 6.8.
3) Расчет токов методом контурных токов
Система уравнений по методу контурных токов
R11 Ik1 + R12 Ik2 + R13 Ik3 = Ek1
R21 Ik1 + R22 Ik2 + R23 Ik3 = Ek2
R31 Ik1 + R32 Ik2 + R33 Ik3 = Ek3
Коэффициенты системы:
- собственные сопротивления контуров
R11 |
:= R3 |
+ R8 |
+ R5 |
+ R1 + R7 |
R11 |
= 16.6 |
Ом |
R22 |
:= R2 |
+ R3 |
+ R8 |
+ R6 |
R22 |
= 11.8 |
Ом |
R33 |
:= R6 |
+ R5 |
+ R4 |
|
R33 |
= 10 |
Ом |
Рисунок 6.7 - Расчет токов методом контурных токов в системе Mathcad
63
Рисунок 6.8 - Расчет токов методом контурных токов в системе Mathcad ( продолжение)
64
Систему уравнений по методу контурных токов (6.5) можно решить и вручную,
с помощью калькулятора. Используем для для решения метод Крамера.
После подстановки числовых значений получается система следующего
вида
16,6 I K1 − 3,8 I K 2 − 4 I K 3 = 51; |
|
|
I K 2 − 4 I K 3 = 22; |
− 3,8 I K1 + 11,8 |
|
|
+ 10 I K 3 = 0. |
− 4 I K1 − 4 I K 2 |
|
Решаем ее при помощи определителей.
Главный определитель системы составляется из коэффициентов при неизвестных
|
16,6 |
− 3,8 |
− 4 |
|
= |
− 3,8 |
11,8 |
− 4 |
= |
|
− 4 |
− 4 |
10 |
|
|
|
|
|
|
=16,6 11,8 10 − 3,8 4 4 − 3,8 4 4 − 4 11,8 4 −
−16,6 4 4 − 3,8 3,8 10 = 1238,4;
Вспомогательные определители получаются из главного определителя заменой одного из столбцов на столбец свободных членов:
|
51 |
− 3,8 |
− 4 |
|
|
|
1 = |
22 |
11,8 |
− 4 |
= 6390; |
||
|
0 |
− 4 |
10 |
|
|
|
|
51 |
− 4 |
|
|||
|
16,6 |
|
||||
2 = |
− 3,8 22 |
− 4 |
= 6054 ; |
|||
|
|
− 4 |
0 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16,6 |
− 3,8 |
51 |
|
3 = |
− 3,8 |
11,8 |
22 |
= 4977 . |
|
− 4 |
− 4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Для вычисление определителей третьего порядка можно использовать,
например, метод треугольников (рисунок 6.9).
65
Рисунок 6.9 – Вычисление определителя методом треугольника
Чтобы запомнить, какие произведения следует брать со знаком «плюс»,
какие – со знаком «минус», можно также пользоваться схемой на рисунке 4.4.
Искомые контурные токи:
|
I |
K1 |
= |
|
|
1 |
= |
6390 |
|
|
= 5,160 A; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1238,4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
I |
K 2 |
= |
|
|
2 |
|
= |
|
6054 |
|
|
= 4,889 A; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1238,4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
I |
|
= |
|
|
3 |
= |
4977 |
|
|
= 4,019 A. |
||||
|
K 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1238,4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Искомые токи ветвей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I1 = I K1 = 5,160 А; |
|
||||||||||||||
I 2 = I K 2 = 4,889 А; |
|
||||||||||||||
I3 |
= I K 2 − I K1 = 4,889 − 5,160 = −0,271 А; |
||||||||||||||
I 4 |
= I K 3 = 4,019 А; |
|
|||||||||||||
I5 |
= I K 3 − I K1 = 4,019 − 5,160 = −1,141 А; |
||||||||||||||
I6 |
= I K 2 − I K 3 = 4,889 − 4,019 = 0,870 А; |
||||||||||||||
66
6.3 Метод узловых потенциалов
Число уравнений по методу узловых потенциалов равно числу уравнений,
которое необходимо составить для расчёта цепи по первому закону Кирхгофа,
т.е. на один меньше числа узлов. В схеме – четыре узла, следовательно, по МУП нужно составить три уравнения (4 – 1 = 3)
Заземлим узел 4, то есть примем его потенциал равным нулю ϕ4 = 0.
Для расчета потенциалов узлов 1, 2, 3 составим систему уравнений вида:
|
ϕ1 − g12 |
ϕ2 − g13 ϕ3 = J у1 |
|
|
|||||||||
g11 |
|
(6.6) |
|||||||||||
− g21 ϕ1 + g22 ϕ2 − g23 ϕ3n = J у2 . |
|
||||||||||||
− g |
31 |
ϕ − g |
32 |
ϕ |
2 |
+ g |
33 |
ϕ |
3 |
= J |
у3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
Для решения системы нужно рассчитать коэффициенты системы: |
|||||||||||||
- собственные узловые проводимости узлов 1, 2, 3 - g11 , g22 , |
g33 , равные |
||||||||||||
сумме проводимостей ( g ветви |
= 1 / R ветви ) всех ветвей, сходящихся в каждом |
||||||||||||
из этих узлов; |
|
|
|
|
-общие проводимости каждой пары узлов g12 |
= g21 , g23 = g32 , g31 = g1 , |
|||
равные сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы данной пары. |
||||
Узловые токи узлов 1, 2, 3 |
J у1, J у2 , |
J у3 равны алгебраической сумме |
||
произведений ЭДС ветвей, |
сходящихся в |
узле, |
для которого составляется |
|
уравнение, на проводимости |
этих ветвей |
|
|
|
|
J у |
= ∑ E g . |
|
|
При суммировании со знаком плюс записываются ЭДС, направленные к узлу и со знаком минус – направленные от узла.
После расчета всех коэффициентов системы решим систему уравнений
(6.6) и найдем потенциалы узлов. По закону Ома определим искомые токи ветвей.
Пример расчета токов ветвей по методу узловых потенциалов в системе
Mathcad приведен на рисунках 6.10 и 6.11.
67
4) Расчет токов методом узловых потенциалов
Заземлим узел 4
ϕ4 := 0
Система уравнений по методу узловых потенциалов
g11 ϕ1 − g12 ϕ2 − g13 ϕ3 = Jy1 |
|
|
||||||||||||||||||
−g21 ϕ1 + g22 ϕ2 − g23 ϕ3 = Jy2 |
|
|
||||||||||||||||||
−g31 ϕ1 − g32 ϕ2 + g33 ϕ3 = Jy3 |
|
|
||||||||||||||||||
Найдем коэффициенты системы: |
|
|
||||||||||||||||||
- собственные узловые проводимости |
|
|
||||||||||||||||||
g11 := |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
+ |
|
1 |
g11 |
= 0.627 |
См |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R1 |
+ R7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
R2 R3 + R8 |
|
|
|||||||||||||||
g22 := |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
g22 |
= 0.763 |
См |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
R3 + R8 |
|
R5 |
R6 |
|
|
|||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
g33 := |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g33 = 1 |
См |
|||
R2 |
R4 |
|
R6 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- общие узловые проводимости
g12 := |
1 |
|
|
|
|
|
|
g12 = 0.263 |
См |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R3 + R8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
g13 |
:= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
g13 = 0.25 |
См |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
g23 |
:= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
g23 = 0.25 |
См |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
g21 |
:= g12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
g31 |
:= g13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
g32 |
:= g23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Узловые токи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Jy1 := |
|
|
|
E3 |
|
|
+ |
E1 |
− |
E2 |
|
Jy1 = 2.803 |
А |
||||||
R3 + R8 |
|
R1 |
+ R7 |
R2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Jy2 := |
|
|
−E3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Jy2 = −1.053 |
А |
||||||
R3 + R8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Jy3 := |
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Jy3 = 4.5 А |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рисунок 6.10 - Расчет токов методом узловых потенциалов в системе
Mathcad
68
Рисунок 6.11 - Расчет токов методом узловых потенциалов в системе
Mathcad (продолжение)
69
Вычислить токи методом узловых потенциалов легко и без использования системы Mathcad, решив систему уравнений (6.6) с помощью калькулятора.
После расчета всех проводимостей и узловых токов и подстановки их в (6.6)
получается система следующего вида:
0,627 ϕ1 − 0,263 ϕ2 − 0,25 ϕ3 = 2,803;
− 0,263 ϕ1 + 0,763 ϕ2 − 0,25 ϕ3 = −1,053;− 0,25 ϕ1 − 0,25 ϕ2 + 1 ϕ3 = 4,5.
Систему уравнений решаем с помощью определителей:
|
0,627 |
− 0,263 |
− 0,25 |
|
|
|
2,803 |
− 0,263 |
− 0,25 |
|
|
||||||
= |
− 0,263 |
0,763 |
− 0,25 |
= |
|
1 = |
− 1,053 |
0,763 |
− 0,25 |
= |
|
||||||
|
− 0,25 |
− 0,25 |
1 |
|
|
|
|
4,5 |
− 0,25 |
1 |
|
|
|
||||
|
2,803 |
− 0,25 |
|
|
0,627 |
− 0,263 |
|
2,803 |
|
||||||||
|
0,627 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 = |
− 0,263 |
− 1,053 |
− 0,25 |
= |
|
3 = |
− 0,263 |
0,763 |
− 1,053 |
= |
||||||
|
|
− 0,25 |
4,5 |
1 |
|
|
|
− 0,25 |
− 0,25 |
|
4,5 |
|
|||||
и получаем значения потенциалов: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ϕ = |
1 |
= 9,593 B; |
ϕ |
|
= |
2 |
= 4,562 B; |
ϕ |
|
= |
3 |
= 8,039 B. |
|
2 |
|
3 |
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Токи в ветвях схемы согласно обобщенному закону Ома:
I1 = |
ϕ 4 − ϕ1 + E1 |
= |
|
0 − 9,593 + 55 |
|
= 5,160 А; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R1 + R7 |
|
|
5 + 3,8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
I 2 |
= |
|
ϕ1 − ϕ3 + E2 |
= |
|
|
|
9,593 − 8,039 + 18 |
= 4,889 |
А; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I3 |
= |
ϕ2 − ϕ1 + E3 |
|
|
|
= |
|
|
4,562 − 9,593 + 4 |
= −0,271 |
А; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R3 + R8 |
|
|
2 + 1,8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
I 4 |
= |
ϕ3 − ϕ4 |
|
|
= |
|
8,039 − 9,593 |
= 4,019 |
А; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
I5 = |
ϕ4 − ϕ2 |
|
= |
0 − 4,562 |
= −1,141 А; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R5 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
I 6 |
= |
ϕ3 − ϕ2 |
|
= |
8,039 − 4,562 |
= 0,869 |
А. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R6 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
70