Анализ линейных электрических цепей постоянного тока

4 Пример выполнения задания уровня А

Рисунок 4.1 – Схема электрической цепи

4.1 Расчет токов по законам Кирхгофа. Баланс мощностей

В схеме три ветви (В=3) и два узла (Y=2). В каждой ветви течет свой ток.

Выберем произвольно направления токов в ветвях и обозначим их на схеме I1, I2, I3, пронумеруем узлы 1 и 2.

Так как у нас три неизвестных тока, следовательно, для их нахождения по законам Кирхгофа всего нужно составить три уравнения.

Из них (рисунок 3.4):

-по первому закону Кирхгофа нужно составить число уравнений на единицу меньше числа узлов, т.е. 2–1=1 (одно уравнение);

-по второму закону Кирхгофа нужно составить недостающее число уравнений, т.е. 3-1 = 2 (два уравнения).

Рисунок 4.2 –Число уравнений по законам Кирхгофа

31

Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов ветвей,

сходящихся в любом узле электрической схемы, равна нулю. Уравнение по первому закону составим для узла 1, токи, направленные к узлу, будем брать со знаком (+), направленные от узла – со знаком (-).

Второй закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура.

Выберем независимые контуры - контуры ячейки, зададимся в них направлениями обхода контуров.

Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения RI в левой части уравнения по второму закону, берется со знаком (+), если не совпадает – то со знаком (-).

Аналогично ставятся знаки для ЭДС в правой части уравнения: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то ЭДС записывается в уравнение со знаком (+), если не совпадает – то (-).

Получилась система из трех линейных алгебраических уравнений,

решим ее и найдем искомые токи ветвей. Решение системы уравнений (4.1)

проведем в математической системе Mathcad, используя метод обратной матрицы. Суть метода обратной матрицы заключается в том, что составляются матрица А коэффициентов правой части уравнения и матрица столбец свободных членов В. Искомые токи будут находиться по формуле I = А-1B.

Для проверки правильности расчета токов составим баланс мощностей.

Сумма мощностей источников должна быть равна сумме мощностей потребителей.

32

В схеме пять потребителей (сопротивлений), мощность, выделяемая на каждом из них, положительна и рассчитывается как I2R:

Расчет токов и баланса мощностей в Mathcad показан на рисунке 4.3.

Решение системы уравнений (4.1) по законам Кирхгофа можно провести и без системы Mathcad, используя для решения, например, метод Крамера,

известный из курса математики.

Система уравнений (4.1) после подстановки числовых значений имеет

вид:

Систему уравнений решаем при помощи определителей.

Главный определитель системы составляется из коэффициентов при

Вспомогательные определители получаются из главного определителя заменой одного из столбцов на столбец свободных членов:

Искомые токи ветвей:

34

Для вычисления определителей можно использовать, например, метод треугольников. Чтобы запомнить, какие произведения следует брать со знаком

«плюс», какие – со знаком «минус», можно пользоваться правилом,

схематически изображенным следующим образом:

Рисунок 4.4 – Вычисление определителя матрицы третьего порядка

4.2 Расчет входного сопротивления

Для расчета входного сопротивления удалим из схемы все источники ЭДС. Так как это идеальные источники и их внутреннее сопротивление равно нулю, их зажимы закорачиваем. В получившейся схеме (рисунок 4.5)

разомкнем зажимы, к которым был подключен указанный в задании источник ЭДС Е1 обозначим их а и b. Будем искать входное эквивалентное сопротивление относительно этих зажимов.

R5

2

Рисунок 4.5 – Схема для расчета входного сопротивления

Это схема со смешанным соединением элементов. Преобразование начинаем с конца схемы. В ветви 3 сопротивления R3 и R4 соединены последовательно,

сопротивление ветви 3

35

Далее ветви 2 и 3 соединены параллельно, так как они подключены к одной и той же паре узлов. Эквивалентное сопротивление ветвей 2 и 3 будет равно

И, наконец, группа сопротивлений R234 будет соединена с сопротивлениями R1 и R5 последовательно, входное сопротивление относительно зажимов ab будет равно

(4.6)

Rвх = R1 + R5 + R234 .

Расчет входного сопротивления в Mathcad показан на рисунке 4.6.

3) Расчет входного сопротивления

Rvh := R1 + R5 + R234 = 22.964 Ом

Рисунок 4.6 - Расчет входного сопротивления в Mathcad

4.3 Расчет показания вольтметра

Согласно заданию вольтметр подключен параллельно сопротивлению R4,

напряжение на вольтметре определим по закону Ома (рисунок 4.7)

4) Расчет показания вольтметра

Рисунок 4.7 - Расчет показания вольтметра в Mathcad

36

4.4 Расчет и построение потенциальной диаграммы

Для расчета потенциальной диаграммы обозначим точки на внешнем контуре, точки обозначаем после каждого элемента. Направление обхода внешнего контура выберем по часовой стрелке (рисунок 4.8)

Рисунок 4.8 – Контур для расчета потенциальной диаграммы

Примем потенциал точки а равным нулю. Потенциалы остальных точек рассчитаем, руководствуясь правилами, изложенными в пункте 3.2.7 (таблица

4.1).

Для построения потенциальной диаграммы на графике по оси абсцисс последовательно друг за другом откладывают все сопротивления внешнего контура от точки а до точки g. Сопротивления идеальных источников ЭДС равны нулю, поэтому на них потенциалы на графике будут изменяться скачком.

По оси абсцисс откладываются рассчитанные потенциалы точек, которые на графике соединяются между собой. При построении потенциальной диаграммы в Mathcad целесообразно задать матрицы потенциалов и сопротивлений.

Расчет и построение потенциальной диаграммы в Mathcad показано на рисунке 4.9.

37

На рисунке 4.10 показано построение графика потенциальной диаграммы

вручную. Там же показана последовательность, в которой по оси абсцисс

откладываются сопротивления контура.

φ/В

φ c

φ a φ g φ d

φ e

φ f

φ b

R/Ом

Рисунок 4.10 – График потенциальной диаграммы, построенный вручную

40