Анализ линейных электрических цепей постоянного тока

5 Пример выполнения задания уровня Б

Рисунок 5.1 – Исходная схема электрической цепи

5.1 Расчет токов по законам Кирхгофа. Баланс мощностей

Перечертим заданную цепь в удобном для расчета виде (рисунок 5.2):

измерительные приборы заменим их внутренним сопротивлением ( RV = ∞ , -

разрыв цепи).

Рисунок 5.2 – Схема электрической цепи для расчета

41

В схеме шесть ветвей (В=6) и четыре узла (Y=4). В каждой ветви течет свой ток. Выберем произвольно направления токов в ветвях и обозначим их на схеме, пронумеруем узлы.

Так как у нас шесть неизвестных токов, следовательно, для их нахождения по законам Кирхгофа всего нужно составить шесть уравнений.

По первому закону Кирхгофа нужно составить число уравнений на единицу меньше числа узлов, т.е. 4–1=3 (три уравнения). Запишем их для узлов

1, 2, 3. Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов ветвей,

сходящихся в любом узле электрической схемы, равна нулю. Tоки, подходящие к узлу, будем брать со знаком (+), отходящие от узла – со знаком (-).

I1 − I2 + I3 = 0;

I2 − I4 − I6 = 0.

По второму закону Кирхгофа нужно составить недостающее число уравнений, т.е. 6 - 3 = 3 (три уравнения). Выберем независимые контуры -

контуры ячейки, зададимся в них произвольно направлениями обхода контуров.

Второй закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура.

Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения RI в левой части уравнения по второму закону, берется со знаком (+), если не совпадает – то (-).

Аналогично ставятся знаки для ЭДС в правой части уравнения: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то ЭДС записывается в уравнение со знаком (+), если не совпадает – то (-).

Уравнения по второму закону Кирхгофа:

42

Получилась система из шести линейных алгебраических уравнений,

решим ее и найдем искомые токи ветвей. Решение системы шести уравнений

(5.1), (5.2) проведем в математической системе Mathcad, используя метод

обратной матрицы. Суть метода обратной матрицы заключается в том, что составляются матрица А коэффициентов правой части уравнения и матрица столбец свободных членов В. Искомые токи будут находиться по формуле

I = А-1B. Расчет токов по законам Кирхгофа в Mathcad показан на рисунках 5.3

и 5.4.

Рисунок 5.3 – Расчет токов по законам Кирхгофа в Mathcad

43

После преобразования получилась новая схема (рисунок 5.7), которую используем для расчетов в последующих пунктах. Схема содержит два узла и три

ветви.

1

2

Рисунок 5.7 – Преобразованная схема

5.3 Расчет токов методом контурных токов

В схеме рисунка 5.7 три неизвестных тока. Следовательно, если бы мы рассчитывали токи по законам Кирхгофа, мы бы составили для их нахождения три уравнения, из которых одно было по первому закону (на один меньше числа узлов), а два – по второму закону Кирхгофа.

Число уравнений для расчета токов ветвей по методу контурных токов равно числу уравнений по второму закону Кирхгофа. Следовательно, для рассматриваемой схемы по МКТ нужно составить два уравнения.

Выберем независимые контуры ячейки и зададимся в них произвольно направлениями контурных токов Iк1, Iк2. (в рассматриваемой схеме направления обоих контурных токов взяты по по часовой стрелке).

Для каждого контура составим уравнение по второму закону Кирхгофа

(направление обхода контуров совпадает с направлением контурного тока). При этом алгебраическая сумма падений напряжений в каждом контуре будет складываться из:

46

-падений напряжений на всех сопротивлениях контура от собственного контурного тока;

-падений напряжений в смежных ветвях от токов соседних контуров.

Система по МКТ имеет следующий вид

R21 I к1 + R22 I к2 = Eк2

Рассчитаем коэффициенты системы:

- собственное сопротивление первого контура (равно сумме всех сопротивлений, входящих в контур 1):

R11 = R45 + R7 + R1 + R38 + R56 ;

- собственное сопротивление второго контура (равно сумме всех сопротивлений, входящих в контур 2):

R22 = R56 + R8 + R3 + R2 + R64 ;

- сопротивление смежной ветви между контурами 1 и 2 (так как контурные токи

Iк1 и Iк2 в смежной ветви направлены в разные стороны, сопротивление смежной ветви будет со знаком минус (рисунок 5.8) и равно сумме всех сопротивлений, стоящих в в ветви, смежной между контурами 1 и 2 )

Рисунок 5.8 – Определение знака сопротивления

смежной ветви

47

Контурные ЭДС равны алгебраической сумме всех ЭДС, входящих в контуры, при этом при суммировании ЭДС берутся со знаком (+), если они

совпадают с направлением обхода и со знаком (-), если не совпадают

Eк1 = E1 − E3 ; Eк2 = E2 + E3 .

После расчета всех коэффициентов решим систему уравнений (5.5)

любым методом и найдем контурные токи Iк1 и Iк2.

Затем находятся искомые токи ветвей. По внешним ветвям течет по одному контурному току, направления токов ветвей совпадают с

направлениями протекающих по ним контурных токов. Поэтому

I1 = I к1 ; I 2 = I к2

По смежной ветви протекают два контурных тока, при этом направление

контурного тока Iк2 совпадает с направлением тока смежной ветви I3, а

контурного тока Iк1 - не совпадает, поэтому

I 3 = I к2 − I к1 .

Расчет токов методом контурных токов в системе Mathcad показан на рисунках 5.9 и 5.10.

4) Расчет токов методом контурных токов

Система уравнений по методу контурных токов

R11 Ik1 + R12 Ik2 = Ek1

R21 Ik1 + R22 Ik2 = Ek2

Коэффициенты системы:

- собственные сопротивления контуров

Рисунок 5.9 – Расчет токов методом контурных токов в системе Mathcad

48

Главный определитель системы составляется из коэффициентов при

неизвестных

=15 − 5,4 == 15 10,2 − (−5,4) (−5,4) = 123,84.

−5,4 10,2

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляется по следующим

правилам (рисунок 5.11).

Рисунок 5.11 – Вычисление определителя второго порядка

Вспомогательные определители получаются из главного определителя заменой одного из столбцов на столбец свободных членов:

потенциалов, который носит название «метод двух узлов».

50