Анализ линейных электрических цепей постоянного тока

Суть его заключается в следующем. Потенциал одного из узлов,

например узла 2, принимают равным нулю, то есть заземляют его. Для узла 1

где g11 – сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в узле1, для нашей схемы, в которой в узле 1 сходятся три ветви:

g11 = g1 + g 2 + g 3 ;

Jу1 – узловой ток, учитывающий все источники в ветвях, сходящихся в узле1, для схемы рисунка 5.7 он равен

J у1 = E1 g1 − E2 g 2 + E3 g 3 .

Здесь произведения E1 g1 и E3 g3 записаны со знаком (+), так как ЭДС

E1 и E3 направлены к узлу 1, для которого составляется уравнение, а E2 g2 со знаком (-), так как ЭДС E2 направлена от узла 1.

5) Расчет токов методом двух узлов

Заземлим узел 2

ϕ2 := 0

Потенциал узла 1 будем искать из решения уравнения

ϕ1 g11 = Jу1

Рассчитаем проводимость каждой ветви

Узловой ток

Jy1 := E1 g1 + E3 g3 − E2 g2 = 2.72 А

Рисунок 5.12 - Расчет токов методом двух узлов в системе Mathcad

51

Решив уравнение (5.6), найдем потенциал узла 1 φ1 , далее по закону Ома определим искомые токи ветвей. Расчет токов методом двух узлов в системе

Mathcad показан на рисунках 5.12 и 5.13.

Найдем потенциал узла 1

Вывод: токи сошлись с токами, рассчитанным по МКТ, следовательно расчет проведен верно.

Рисунок 5.13 - Расчет токов методом двух узлов в системе Mathcad (продолжение)

Расчет методом двух узлов можно провести и в ручном режиме, без использования системы Mathcad.

ϕ2 = 0

52

Токи в ветвях схемы рисунок 5.7 согласно обобщенному закону Ома:

5.5 Расчет и построение потенциальной диаграммы

Для расчета потенциальной диаграммы обозначим точки на внешнем контуре (рисунок 5.14).

Рисунок 5.14 - К расчету потенциальной диаграммы Потенциал точки а примем равным нулю, направление обхода контура

примем по часовой стрелке. Последовательно обходя контур, после каждого элемента будем рассчитывать потенциал точки, учитывая следующее:

53

-если направление обхода и направление стрелки тока совпадают, то при переходе через сопротивление потенциал уменьшается на величину RI;

-если направление обхода и направление стрелки ЭДС совпадают, то при переходе через ЭДС потенциал увеличивается на величину ЭДС Е.

Рисунок 5.15 - Расчет и построение потенциальной диаграммы в Mathcad

Для построения потенциальной диаграммы на графике по оси абсцисс последовательно друг за другом откладывают все сопротивления внешнего контура от точки а до точки h. Сопротивления идеальных источников ЭДС равны нулю, поэтому на них потенциалы на графике будут изменяться скачком.

54

По оси абсцисс откладываются рассчитанные потенциалы точек, которые на графике соединяются между собой. При построении потенциальной диаграммы в Mathcad целесообразно задать матрицы потенциалов и сопротивлений.

Расчет и построение потенциальной диаграммы в Mathcad показано на рисунках 5.15 и 5.16.

Потенциальную диаграмму можно рассчитать и построить вручную.На рисунке 5.17 показан график потенциальной диаграммы, построенный вручную. На нем наглядно видно, каким образом и в какой последовательности по оси абсцисс откладываются сопротивления внешнего контура.

55

6 Пример выполнения задания уровня В

R1

Рисунок 6.1 – Исходная схема электрической цепи

6.1 Расчет токов по законам Кирхгофа. Баланс мощностей

Перечертим заданную цепь в удобном для расчета виде (рисунок 6.2):

измерительные приборы заменим их внутренним сопротивлением ( RV = ∞ , -

Рисунок 6.2 – Схема электрической цепи для расчета

В схеме шесть ветвей (В=6) и четыре узла (Y=4). В каждой ветви течет свой ток. Выберем произвольно направления токов в ветвях и обозначим их на схеме, пронумеруем узлы.

57

Поскольку у нас шесть неизвестных токов, для их нахождения по законам Кирхгофа всего нужно составить шесть уравнений.

По первому закону Кирхгофа нужно составить число уравнений на единицу меньше числа узлов, т.е. 4–1=3 (три уравнения). Запишем их для узлов

1, 2, 3. Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов ветвей,

сходящихся в любом узле электрической схемы, равна нулю. Tоки, подходящие к узлу будем брать со знаком (+), отходящие от узла – со знаком (-).

I1 − I2 + I3 = 0;

(6.1)

− I3 + I5 + I6 = 0;

I2 − I4 − I6 = 0.

По второму закону Кирхгофа нужно составить недостающее число уравнений, т.е. 6 -3 = 3 (три уравнения). Выберем независимые контуры -

контуры ячейки, зададимся в них направлениями обхода контуров.

Второй закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура.

Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения RI в левой части уравнения по второму закону, берется со знаком (+), если не совпадает – то (-).

Аналогично ставятся знаки для ЭДС в правой части уравнения: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то ЭДС записывается в уравнение со знаком (+), если не совпадает – то (-).

Уравнения по второму закону Кирхгофа:

( R1 + R7 ) I1 − ( R3 + R8 ) I 3 − R5 I 5 = E1 − E3 ;

ее и найдем искомые токи ветвей. Решение системы уравнений (6.1), (6.2)

проведем в математической системе Mathcad, используя метод обратной

58

матрицы. Суть метода обратной матрицы заключается в том, что составляются матрица А коэффициентов правой части уравнения и матрица столбец свободных членов В. Искомые токи будут находиться по формуле I = А-1B.

Расчет токов по законам Кирхгофа в Mathcad показан на рисунках 6.3 и 6.4.

Рисунок 6.3 – Расчет токов по законам Кирхгофа в Mathcad

59