Никитина Дарья ПИН-21Д КР1 (математический анализ)

Вариант 2

Во всех заданиях, где необходимо,

привести коды М-функций с комментариями.

1. Вычислить площадь, ограниченную данными функциями:

y=x ; y=0.

В отчёт: Построить графики функций. Найти точки пересечения. Найти площадь в MatLab и

без его использования.

2.

Построить график дуги кардиоиды находящейся внутри окружности Найти её длину в MatLab и без его использования.

В отчёт: вставить рисунок, вычисление в MatLab.

Решение:

В виду симметрии вычислим часть дуги для и умножим на 2.

clc;

cla;

Minx=0;%нижняя граница оси X

Maxx=1;%верхняя граница оси X

Miny=-1;%нижняя граница оси Y

Maxy=1;%верхняя граница оси Y

t=-pi/3:pi/60:pi/3;

r=2*(1-cos(t));

x=r.*cos(t);

y=r.*sin(t);

x1=cos(t);

y1=sin(t);

X=[Minx Maxx];

Y=[Miny Maxy];

Z=[0 0];% линия координат

hold on% сохранить оси координат

plot(x,y,x1,y1);% вывод графика

plot(X,Z, 'k');% ось X

plot(Z,Y, 'k');% ось Y

hold off

syms x;% определение символьной переменной

f=sym('2*(1-cos(x))');% определение символьной функции

f1=diff(f,x);% производная

L=sqrt(f^2+f1^2);% подинтегральная функция

I=2*int(L,x,0,pi/3);% вычисление интеграла

disp('Длина равна:');% вывод текста

disp(I);% вывод значения длины дуги

3.

Для ряда на одном рисунке построить график последовательности членов ряда и график последовательности частичных сумм ряда. Исследовать сходимость ряда

В отчёт: вставить рисунок.

Решение:

clc;

cla;

N=20;

i=2:1:N;

A=1./(i.*log(i));

S=0;

for k=1:N-1

S=S+A(k);

B(k)=S;

end

plot(i,A,'o',i,B,'+');

legend('Члены ряда','Частные суммы');

Применим интегральный признак: Ряд и несобственный интеграл

сходятся или расходятся одновременно.

Несобственный интеграл - расходится, следовательно, расходится и ряд .

4.

Исследовать сходимость ряда Если ряд сходится и к нему применимо утверждение об оценке ряда, то вычислить его сумму с точностью до 0,001.

В отчёт: вставить вычисления в MatLab, исследование сходимости..

Решение:

Применим признак Даламбера

Ряд сходится.

При выполняется условие , т.е. .

Тогда,

76+19=95.

Получение оценки остатка

n = 75

A-B= 7.0488e-16

m = 18

R = 0.0014

Условия оценки не выполнены.

Получение оценки остатка

n = 76

A-B= -7.8487e-15

m = 19

R = 9.0219e-04

Условия оценки выполнены.

clc;

disp('Получение оценки остатка');

n=76

A=(n^5+1)/2^n;

disp('A-B=');

B=(2/3)^n;

A-B

m=19

R=2*(2/3)^m;

R

S=0;

for i=3:95

S=S+(i^5+1)/2^i;% вычисление частной суммы

end

disp('Приближенная сумма ряда равна:');

S% частная сумма

Приближенная сумма ряда равна:

S = 1.0737e+03

5.

Доказать сходимость ряда и вычислить с точностью до 0,001 сумму ряда.

В отчёт: вставить вычисления в MatLab, исследование сходимости..

Решение:

Ряд отвечает всем условиям теоремы Лейбница.

1. знакочередующиеся;

2. члены ряда по абсолютной величине убывают ;

3. по абсолютной величине общий член ряда стремится к нулю

Следовательно, ряд - сходится. А так как, ряд составленный из абсолютных величин - расходится (т.к. , гармонический ряд с показателем расходится), то ряд сходится условно.

Для остатка ряда Лейбница справедлива оценка:

. Поэтому, для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда, достаточно выполнения условия

clc;

n=1006% подбор количество членов ряда для достижения точности

n+1-log(n+1)-1000

S=0;

for i=2:1:1006

S=S+cos(pi*i)/((i+1)-log(i+1));% суммирование

end

S% приближенное знчение суммы

n = 1006

ans = 0.0853

S = 0.3084