Лаба 8
.pdf
Практикум 9. Вычисление кратных интегралов.
Сведение кратного интеграла к повторному.
Замена переменных в кратном интеграле
1. Вычисление двойного интеграла. Двойной интеграл можно вычислить с помо-
щью повторного интеграла. |
Если |
множество G задано неравенствами |
|
a x b, y1(x) y y2 (x) , где |
y1(x) и |
y2 (x) - непрерывные на отрезке a,b функ- |
|
ции, то двойной интеграл сводится к повторному |
|||
|
|
b |
y2 ( x) |
f (x, y)dxdy dx |
f (x, y)dy , |
||
G |
|
a |
y1 (x) |
в котором интеграл по dy будем называть внутренним, а по dx - внешним интегра-
лом. Если множество G задано неравенствами c y d, x1( y) x x2 ( y) , где x1( y)
и x2 ( y) - непрерывные на отрезке c, d функции, то двойной интеграл сводится к по-
вторному
|
d |
x2 |
( y) |
f (x, y)dxdy de |
|
f (x, y)dx , |
|
G |
c |
x1 |
( y) |
в котором интеграл по dx называется внутренним, а по dy - внешним интегралом.
Двойные интегралы вычисляются в MatLab повторным применением функции
int. |
|
|
Пример 1. Вычислим интеграл xydxdy, G : |
1 x 2, |
x y 2x. |
G |
|
|
>> syms x y a b c d |
|
|
f=sym('x*y'); |
|
|
a=1;b=2; |
|
|
c=sym('x'); d=sym('2*x'); |
|
|
Iy=int(f,y,c,d); |
|
|
Ix=int(Iy,x,a,b) |
|
|
Ix =
1
45/8
Упражнение 1. Изобразить область интегрирования. Вычислить интегралы,
расставив пределы интегрирования двумя способами:
а) |
(x y2 )dxdy, где |
G ограничена кривыми |
y 2x и y x2 . |
|
G |
|
|
б) |
sin(xy)dxdy, где |
G ограничена кривыми |
y 1 2x2 и y x 0. |
|
G |
|
|
|
Упражнение 2. Изобразить область интегрирования. Вычислить тройные ин- |
||
тегралы: |
|
|
|
а) |
zdxdydz , где V |
ограничена координатными плоскостями x 0 , y 0 , z 0 |
|
|
V |
|
|
и плоскостью x y z 1. |
|
||
б) |
xyzdxdydz , где V ограничена поверхностями x y2 , y x2 , z xy и коор- |
||
|
V |
|
|
динатной плоскостью z 0 .
2. Замена переменных в кратном интеграле.
Упражнение 3. Изобразить область интегрирования. Вычислить интеграл двумя способами двумя способами (без помощи и с помощью замены переменных):
а) 
4 x2 y2 dxdy , где область интегрирования G удовлетворяет неравен-
G
ству 1 x2 y2 4 .
б) 
x2 y2 dxdydz , где область интегрирования V ограничена поверхностя-
V
ми z 
x2 y2 , x2 y2 1, z 0 .
в) 
x2 y2 z2 dxdydz , где область интегрирования V определяется нера-
V
венством x2 y2 z2 z .
2