Теоретические основы электротехники
Теория электромагнитного поля
ВШВЭ, проф. Л. И. Сахно 2021
1
Переменное электромагнитное поле
в диэлектрике
В переменном электромагнитном поле наблюдаются одновременно обе, рассмотренные ранее нами в отдельности, его стороны. Связь между ними дают первое и второе уравнения Максвелла – закон полного тока и закон электромагнитной индукции:
Анализируя переменное электромагнитное поле в диэлектрике, считаем диэлектрик идеальным ( =0) и предполагаем отсутствие в нем объемных зарядов ( =0). Тогда:
Запишем оба уравнения в проекциях на оси декартовой системы координат:
Рассмотрим случай плоско поляризованной электромагнитной волны, в
которой все характеризующие ее величины зависят только от одной из координат (z), а от остальных координат (x, y) не зависят. Такой характер имеют электромагнитные
волны, излучаемые антенной, на больших (z>> ) расстояниях от антенны, где - длина электромагнитной волны в диэлектрике.
Часто такую волну называют плоской.
Из последних уравнений каждой системы ввиду равенства нулю производных получаем, что проекции векторов Ez и Hz не зависят от времени: Ez=const и Hz=const.
Направим ось x декартовой системы координат вдоль вектора напряженности электрического поля (Ey=0). В этом случае остается единственная составляющая
вектора напряженности электрического поля: E=Ex. В этом случае уравнения еще больше упрощаются:
Из этих уравнений следует:
При выбранном направлении осей координат, вектор напряженности магнитного поля имеет лишь единственную составляющую, направленную вдоль оси y: H=Hy. Это
означает, что в плоско поляризованной электромагнитной волне в диэлектрике в
любой точке векторы напряженности электрического и магнитного поля расположены взаимно перпендикулярно.
Найдем решение системы двух оставшихся уравнений:
Дифференцируя первое уравнение по времени, а второе по координате z, получим:
откуда
Волновое уравнение
Обозначим в этом уравнении
Запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля, которое
называется волновым уравнением:
При рассмотрении режимов в цепях с распределенными параметрами нами были получены аналогичные уравнения для напряжения в произвольной точке линии без потерь, в которой координата x отсчитывается от начала линии:
Решение для волнового уравнения в линии мы получили в виде суммы прямой и обратной бегущих волн напряжения:
u = u + u = u/(x-vt) + u//(x+vt)
Решение для напряженности электрического поля запишем по аналогии:
Ex = E/(z-vt) +
E//(z+vt)
Коэффициенты |
в обоих уравнениях имеют одинаковые размерности , |
|
так как в цепях с распределенными параметрами эти параметры задаются на единицу длины линии:
[L] = [ ] = Гн/м; [C] = [ ]= Ф/м
Выражение для волн тока в линии мы получали с помощью волнового сопротивления:
Здесь через Z обозначено волновое сопротивление линии без потерь, которое по аналогии эквивалентно волновому сопротивлению идеального диэлектрика для электромагнитных волн: