Теоретические основы электротехники
Теория электромагнитного поля
ВШВЭ, проф. Л. И. Сахно 2021
1
Векторный потенциал магнитного поля
Векторный потенциал - вспомогательная величина, с помощью которой можно анализировать магнитные поля постоянных токов, как вне проводников с токами, так и внутри этих проводников.
rot H J
div B 0 |
B H |
Второе уравнение будет выполняться всегда, если представить вектор магнитной индукции, как ротор некоторого вспомогательного вектора
B rot A |
B A |
divrot A 0 |
( A) 0 |
A A( x , y ,z) - векторный потенциал магнитного поля.
Наложим на векторный потенциал такие условия, чтобы при подстановке его в уравнения магнитного поля эти уравнения выполнялись бы во всех точках поля – как при J 0
так и при J 0
В этом случае векторным магнитным потенциалом можно будет пользоваться для анализа магнитных полей в любых средах.
так как именно на этом основании мы ввели векторный потенциал.
Принцип непрерывности магнитного потока div B 0 выполняется всегда, так как именно на этом основании мы ввели векторный потенциал
Подставим векторный потенциал в закон полного тока при условии , что
(x,y,z) = const |
rot H rot H rot B J |
rot H J |
rot rot A J
Преобразуем левую часть уравнения, применяя формулу для двойного векторного произведения:
rot rot A ( A) ( A) ( ) A (div A) 2 A grad div A 2 A J
При рассмотрении магнитного поля постоянных токов примем, что дивергенция векторного магнитного потенциала равна нулю:
div A 0 |
|
A ds 0 |
Во всех точках магнитного поля постоянного тока выполняется принцип непрерывности линий векторного магнитного потенциала, т. е. эти линии не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми на себя кривыми.
Граничные условия на поверхности раздела двух сред:
A1n =
A2n
Уравнение Пуассона для векторного потенциала
rot rot A ( A ) grad div A 2 A J
2 A J |
2 A A J |
Для проекций векторов на оси координат, в частности для декартовой системы можем записать:
2 Ax J x |
2 Ay J y |
2 Az J z |
Уравнение Пуассона для векторного потенциала:
2 A A J
Уравнение Пуассона для скалярного электрического потенциала:
2U
Одно уравнение переходит в другое при замене:
U Ax ,y ,z J x ,y ,z
Решение уравнения Пуассона для скалярного электрического потенциала :
1 dv U 4 V r
Решения уравнения Пуассона для проекций векторного потенциала:
|
|
J dv |
|
J y dv |
|
J z dv |
||
Ax |
|
V xr |
Ay |
|
V r |
Az |
|
V r |
|
|
4 |
||||||
|
4 |
|||||||
4 |
||||||||
Просуммировав умноженные на орты проекции векторного потенциала, получим решение уравнения Пуассона для векторного потенциала магнитного поля (под интегралом геометрическое суммирование):
|
|
Jdv |
|
A |
|
|
V r |
4 |
|||
Интегрирование проводится по всей области (объему), где плотность тока не равна нулю.
Случай линейных проводников с
Проводники считаются линейными, когда размерытокомпоперечного. сечения проводника намного меньше его длины
dl |
J |
Если направления векторов |
J |
и |
|
dl |
|
||||
|
совпадают, а ток сквозь любое сечение |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
dv |
r |
проводника одинаков: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
i dl |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Jdsdl |
|
idl |
|
|||||
l |
|
A Jdv |
|||||||||
|
4 V |
r |
4 l S |
r |
|
4 l |
r |
|
4 l |
r |
|
Если магнитное поле создано несколькими проводниками с токами, то следует интегрировать вдоль всех проводников с токами, тогда:
|
n |
ik |
dl |
A |
4 r |
||
|
k 1 |
lk |
|
Все полученные соотношения для определения векторного потенциала справедливы в предположении, что в магнитном отношении среда однородна = const ≠ f(x,y,z) или кусочно - однородна.
Если среда неоднородна, то нельзя выносить за оператор ротора:
rot H rot H
rot H grad( ) H rot H