Теоретические основы электротехники
Теория электромагнитного поля
ВШВЭ, проф. Л. И. Сахно 2021
1
Расчет электрической емкости.
Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции и частичные емкости в системе заряженных тел
q1 |
q 0 |
U1 = 11·q1 ; U2 = |
|
2 |
21·q1 |
|
|
Коэффициент 11, называемый собственным потенциальным коэффициентом
первого тела, зависит от наличия второго тела Коэффициент 21 называется взаимным потенциальным коэффициентом между первым и вторым телом.
Если заряжены два тела:
U1 = 11·q1 + 12·q2; U2 = 21·q1 + 22q2.
Собственные потенциальные коэффициенты имеют два одинаковых индекса, а взаимные – два различных. Измеряются они в 1/Ф
Если заряды двух тел равны и противоположны по знаку (q1 = – q2 = q), то выражение для емкости в системе двух тел получаем в виде:
C |
q1 |
|
q |
|
1 |
U1 U 2 |
q ( 11 12 21 22 ) |
11 22 2 12 |
Для системы из « n » заряженных тел в линейной среде на основе принципа наложения можем записать:
U1 = 11·q1 + 12·q2 + . . . + 1n·qn;
U2 = 21·q1 + 22·q2 + . . . + 2n·qn;
…………………………………………………………………………………….
Un = n1·q1 + n2·q2 + . . . + nn ·qn.
Собственные потенциальные коэффициенты можно определить экспериментально. Для этого надо только одно из тел (например, второе) подключить к источнику т.е. зарядить его до потенциала U2 = 22·q2 = U0 Заряды
остальных тел должны быть равны нулю. После отключения источника второе тело разряжается через баллистический гальванометр и при этом измеряется его заряд и рассчитывается собственный потенциальный коэффициент:
22 U 2
q2
q = ·U + ·U + . . . + Коэффициенты1 электростатической11 1 12 2 индукции
1n·Un;
q2 = 21·U1 + 22·U2 + . . . +
2n·Un;
……………………………………
qn = n1·U1 + n2·U2 + . . . + nn Un.
……
Коэффициенты электростатической индукции образуют матрицу, получаемую обращением матрицы потенциальных коэффициентов .
Экспериментальное определение коэффициентов электростатической индукции
В системы из трех проводящих тел определим коэффициенты 11 и 13. Заземлим все тела кроме первого, это означает, что U2 = U3 = 0. Первое тело зарядим от источника постоянного напряжения до потенциала U1 = U0 , считаем его заряд равным q1 >0. На
втором и третьем телах вследствие электростатической индукции появятся заряды противоположного знака q2<0, q3<0.
U1 = U0: q1 = 11·U1; q2 = 21·U1; q3 = 31 U1
q1 |
q3 |
|
q |
|
|
|
q3 |
|
11 |
|
0 |
|
|
|
|||
|
1 |
31 |
|
0 |
||||
|
q2 |
U1 |
|
U1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G1 U0 |
G3 |
|
kk > 0, kp < 0 |
|
|
|
||
Собственные и взаимные частичные емкости
q1 = C11·(U1-0) + C12·(U1 - U2)+ . . . + C1n·(U1 -Un);
q2 = C21·(U2 -U1)+ C22·(U2-0)+ . . . + C2n·(U2-Un);
…………………………………………………….
qn = Cn1·(Un -U1) + Cn2·(Un -U2)+ . . . + Cnn ·(Un
-0).
Коэффициенты этого уравнения (Ckk и Ckp) называются собственными и взаимными частичными емкостями и измеряются в фарадах
Связь между коэффициентами электростатической индукции
ичастичными емкостями
1.Приравняв потенциалы всех тел к потенциалу первого тела (Uk = U1) из первых
уравнений обеих систем получим: q1 = C11U1 =n ( 11+ 12+ 13+ …+ 1n)U1 , откуда:
C11 = 11+ 12+ 13+ …+ 1n.; Ckk kp
p 1
2. Приравняв потенциалы всех тел, кроме первого, к нулю (Uk = 0; U1 ≠ 0) из первых
уравнений обеих систем получим: q = |
U = (C +C |
12 |
+C + …+C |
1n |
)U . |
|||||||
|
|
1 |
|
11 |
1 |
n |
11 |
|
13 |
1 |
||
11 = C11+C12+C13+ …+C1n; |
|
kk |
Сkp |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
3. Приравняв потенциал первого тела к нулю (U1 = 0), получим: |
|
|
||||||||||
q = |
U + U + … + U = – C U – C U – …– C U ; |
|
Ckp = |
|||||||||
1 |
12 2 13 3 |
1n n |
|
12 |
2 |
|
13 |
3 |
|
1n n |
|
– kp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет напряжений между телами в системе проводников
|
c13 |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
c |
3 |
|
|
c12 |
c23 |
1 |
c23 |
|
|
|||
|
12 |
|
|
|
|
|
c11 |
2 |
c33 |
|
c |
|
|
|
U0 |
c22 |
c33 |
|||
U0 |
|
c |
11 |
|||
|
|
22 |
|
|
|
|
U 0
Система из трех проводящих тел над землей, |
Эквивалентная схема цепи для |
два из которых не заряжены, а потенциал |
расчета напряжений на участках |
первого равен U0 |
|
Потенциальные коэффициенты в системе тонких, параллельных весьма длинных проводов.
1. Один провод над землей. |
Для тонкого цилиндра h >> R |
h 
h 
R r1 |
|
|
|
b |
h2 R 2 |
h |
|
Эквивалентный заряд на проводе равный , расположен на |
|||||||
r2 |
его геометрической оси |
|
|
|
|||
U |
|
ln r2 |
C / |
|
ln |
2h |
|
|
|
2 |
r |
|
|
2 |
R |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Полагаем что постоянная С / = 0, получаем, что потенциал равен нулю на поверхности земли.
q = l |
11 |
1 |
ln |
2h |
|
2 l |
R |
||||
|
|
|