d 2t = 0 dx2
Первое и второе интегрирование данного уравнение
dt |
= C1 ; |
t = C1 x + C2 |
|
dx |
|||
|
|
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий первого рода
при |
x = 0 |
t = tc1 |
; C2 |
= tc1 |
||
при |
x = d |
t = tc2 |
C1 |
= - |
tc1 - tc2 |
|
d |
||||||
|
|
|
|
|
||
Подставляя постоянные интегрирования в общее решение получим закон распределения температуры в рассматриваемом сечении стенки
t = tc1 - tc1 - tc2 x
d
распределение температуры в стенке при граничных условиях первого рода является линейной функцией.
Расчетное выражение удельного теплового потока получается из уравнения Фурье
q = -l ¶¶xt = -lc1 = ld (tc1 - tc2 )
С учетом того, что тепловой поток Q = qF имеем
Q = qF = ld (tc1 - tc2 )F
Отношение ld называется тепловой проводимостью стенки. Обратная величина ld представляет собой термическое
сопротивление стенки. С учетом выше сказанного имеем
q = |
t |
с1 |
- t |
с2 |
; |
Q = qF = |
tс1 - tс2 |
|||
|
|
|
|
d |
|
|||||
|
|
d |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
l F |
|||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через
плоскую трехслойную стенку при условиях: толщина слоев стенки d1 , d2 , d3 ; коэффициенты теплопроводности материалов соответственно l1 , l2 , l3 ; контакт между
стенками идеальный и температура на границе смежных слоев одинакова.
Перенос тепла происходит в стационарных условиях – плотность теплового потока по всем слоям стенки имеет одно и то же значение (q=idem).
q = l1 |
(tc1 |
- tc2 )= l2 |
(tc2 |
- tc3 )= l3 |
(tc3 - tc4 ). |
|||
d |
1 |
|
d |
2 |
|
d |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выделим из этого ряда равенств разности температур
tс1 - tc2 |
= q |
d1 |
= qR1 ; |
tc2 |
- tc3 |
= q |
d2 |
= qR2 ; |
|
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|
l1 |
|
|
|
l2 |
|||
t3 - tс4 = q d3 = qR3 . l3
Складывая левые и правые части уравнений разности температур, получаем слева изменение температуры в стенке, справа – произведение плотности теплового потока q
и общего термического сопротивления |
|
|
|||||||||
|
æ |
d1 |
|
d2 |
|
d3 |
ö |
= q(R1 |
|
+ R3 ). |
|
tс1 - tс4 |
ç |
+ |
+ |
÷ |
+ R2 |
||||||
|
|
|
|||||||||
= qç |
l2 |
|
÷ |
||||||||
|
è l1 |
|
|
l3 ø |
|
|
|
||||
Плотности теплового потока при переносе тепла теплопроводностью через плоскую трехслойную стенку
q = |
|
|
tс1 - tс4 |
|
= |
|
tс1 - tс4 |
|
, |
Q = qF |
|||
|
d1 |
|
d2 |
|
d3 |
|
R |
+ R + R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
l1 |
+ l2 |
+ l3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае для стенки, состоящей из n – слоев имеем
Q = qF = |
t |
с1 - tс(n+1) |
F |
= |
tс1 |
- tс(n+1) |
F , |
||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
d |
i |
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åRi |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
li |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|||||||
q = |
tс1 - tс(n+1) |
= |
|
t |
с1 |
- tс(n+1) |
|
= |
tс1 |
- tс(n+1) |
, |
||||||||||||
n |
d |
i |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
R |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åRi |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
li |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Температура на стыке двух слоев
ti+1 = t1 - qåi di i=1 li
Рассмотрим теплопроводность цилиндрической однослойной стенки с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным диаметром d2=2r2 в условиях стационарного температурного поля. Внутренние источники теплоты отсутствуют.
Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки
¶t |
æ |
¶2t 1 ¶t |
1 ¶2t |
|
¶2t |
ö |
||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
¶t |
¶ 2 + r ¶r + |
|
|
|
¶j2 |
+ ¶ 2 |
||||||||
= aç |
r |
2 |
|
÷ |
||||||||||
|
è |
r |
|
|
|
|
z |
ø |
||||||
¶t = 0
В рассматриваемом случае ¶t
Температуры на наружной и внутренней поверхности цилиндрической стенки неизменны и ось z совмещена с осью
цилиндра
¶2t = ¶2t = 0
¶j2 ¶z 2
Предположим, что в рассматриваемом случае температура изменяется только в радиальном направлении
|
d 2t |
+ |
1 dt |
|
= 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d 2 r |
r dr |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
Граничные условия: |
r = r1 |
|
t = tс1 |
|||||||
|
r = r2 |
|
t = tс2 |
|||||||
введем новую переменную |
u = |
dt |
|
тогда |
||||||
dr |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
dudr + ur = 0