интегрируя
ln u + ln r = ln C1
потенцируя и переходя к первоначальным переменным,
dt = C1 |
dr |
|
получаем |
|
|
|
r |
t = C1 ln r + C2 |
После интегрирования имеем |
||
Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий
tc1 = C1 ln r1 + C2
tc2 = C2 ln r2 + C2
Подставляя полученные значения С1 и С2 в общее уравнение
С |
1 |
= |
tc1 - tc2 |
С2 |
= tc1 - (tc1 |
- tc2 ) |
ln r1 |
|
||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
r1 |
|
||
|
|
|
ln r2 |
|
|
|
ln r2 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
получим ln r t = tc1 - (tc1 - tc2 ) r1
ln r2 r1
температурного поля представляет собой уравнение логарифмической кривой.
Для определения теплового потока через цилиндрическую поверхность воспользуемся законом Фурье
Q = -l |
¶t |
× F ; |
Q = -l |
¶t |
× 2prL |
|
¶r |
||||
¶r |
Подставляя в уравнение Фурье значение градиента
температуры
drdt = Сr1
получим |
2pll(tc1 - tc2 ) |
|
2pll(tc1 - tc2 ) |
|||||||
Q = |
или Q = |
|||||||||
|
|
|
|
|
d2 |
|
||||
ln |
r2 |
ln |
||||||||
|
|
|||||||||
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
d1 |
||||||
Тепловой поток может быть отнесен либо к единице длины, либо к единице внутренней или внешней поверхности.
внутренней поверхности |
|
Q |
|
= q1 |
= |
(tc1 - tc2 ) |
|
|||||||||||
|
|
pd1l |
|
|
|
|
d1 |
1 |
|
ln |
|
d2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
d1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
наружной поверхности |
|
Q |
= q1 |
= |
|
(tc1 - tc2 ) |
|
|||||||||||
pd2l |
d2 |
|
1 |
ln |
d2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
d1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тепловой поток отнесенный к единице длины, имеет размерность Вm/м и называется линейной плотностью
теплового потока. Q |
= ql = |
p(tc1 - tc2 ) |
||||||
|
l |
|
1 |
ln |
d2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2l |
d1 |
|||
|
|
|
|
|
||||
Рассуждая аналогично, как при получении расчетного соотношения теплового потока для многослойной плоской стенки, можно получить выражение для определения линейной плотности теплового потока в случае многослойной цилиндрической стенки
ql = |
p(tc1 - tc n+1 ) |
|
|||||
i=n |
1 |
|
|
di+1 |
|
||
|
|
|
|
||||
|
å= |
|
|
ln |
|
|
|
|
2l |
i |
d |
i |
|
||
|
i 1 |
|
|
|
|
||
i=n |
1 |
|
d |
i+1 |
|
å |
|
ln |
|
называется полным термическим сопротивлением |
|
2li |
|
|
|||
i=1 |
|
di |
|||
теплопроводности многослойной цилиндрической стенки.
Температура на границе любых двух слоев:
|
|
|
ql |
æ |
i |
1 |
|
di+1 |
ö |
|
tc(i+1) |
= tc1 |
- |
ç |
å |
ln |
÷ |
||||
p |
2l |
di |
||||||||
|
|
|
ç |
= |
|
÷ |
||||
|
|
|
|
è i 1 |
i |
|
|
ø |
||
Обобщенное уравнение стационарной теплопроводности
При передаче тепла через произвольные криволинейные стенки тепловой поток определяется по такому же уравнению, как и для плоской стенки, только в выражение вводится расчетная поверхность теплопроводности
Q = ld Fm (t1 - t2 ).
Расчетная поверхность теплопроводности принимается в зависимости от вида стенки, через которую происходит передача тепла:
• |
Для плоской стенки Fm = F1 |
= F2 = F3 ; |
(F - F ) ln(F |
F ); |
||||
• |
Для цилиндрической стенки |
F |
= F |
= |
||||
|
|
m |
mL |
|
2 1 |
2 |
1 |
|
|
Для сферической стенки Fm = FmG = |
|
. |
|
|
|||
• |
F1 F2 |
|
|
|||||
Теплопроводность через многослойные криволинейные стенки определяется по уравнению аналогичному уравнению
теплопроводности плоской многослойной стенки
Q = |
tс1 - tс(n+1) |
|||
n |
d |
i |
|
|
|
|
|||
|
å |
|
|
|
|
l F |
|||
|
= |
|||
|
i 1 |
i mi |
||
где di ,li , Fmi – толщина, коэффициент теплопроводности и
расчетная поверхность рассматриваемого слоя.